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线性代数网课代修|张量代数代写Tensor algebra辅导|Math403

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Definition of tensor products

We are now ready to define the tensor product of $k$-vector spaces.
Definition 1.2. Let $V$ and $W$ be $k$-vector spaces. The pair $\left(U_{0}, l\right)$ consisting of a $k$-vector space $U_{0}$ and a bilinear mapping $l: V \times W \rightarrow U_{0}$, satisfying (T1) and (T2), the existence of which is assured by Theorem 1.1, is called a tensor product of $V$ and $W$. We write $U_{0}=V \otimes W$ and $t(v, w)=$ $v \otimes w$. The mapping $l$ is called the canonical mapping of a tensor product $U_{0}=V \otimes W$.

In the following, we sometimes say that a vector space $U_{0}$ is a tensor product $V \otimes W$ of $V$ and $W$. Implicitly this means that there exists a bilinear mapping $t: V \times W \rightarrow U_{0}$ satisfying (T1) and (T2) (or (T)). In this notation, condition (T) can be restated as follows: a tensor product $U_{0}$ of $V$ and $W$ is generated by ${v \otimes w(=l(v, w)) \mid v \in V, w \in W}$. The uniqueness property (2) of Theorem $1.1$ can be restated as follows: if $U_{0}$ and $U_{0}^{\prime}$ are tensor products of $V$ and $W$, then there exists a unique linear isomorphism $F_{0}: U_{0} \rightarrow U_{0}^{\prime}$ such that $F_{0}$ associates $v \otimes w$ in $U_{0}^{\prime}$ to $v \otimes w$ $(=l(v, w))$ in $U_{0}$ for all $v \in V, w \in W$.

In the proof of existence in Theorem 1.1, we used bases for $V$ and $W$. Therefore, it might be difficult to understand the meaning of the tensor product. Thus, we give another construction of a tensor product $\left(U_{0}, t\right)$ free from bases.

Let $V^{}$ and $W^{}$ be the dual spaces of $V$ and $W$ respectively (see $\S 1$ for dual spaces), and let $U_{0}$ be defined by
$$
U_{0}=\mathscr{L}\left(V^{}, W^{} ; k\right) .
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of tensor products

We begin with properties which can be easily obtained. Rewriting the bilinearity of the canonical mapping $l$, we have the following proposition.
Proposition $1.1$ (bilinearity of $\otimes$ ). For $\alpha, \beta \in k, v, v_{1}, v_{2} \in V$, $w, w_{1}, w_{2} \in W$, we have
$$
\begin{aligned}
\left(\alpha v_{1}+\beta v_{2}\right) \otimes w &=\alpha\left(v_{1} \otimes w\right)+\beta\left(v_{2} \otimes w\right), \
v \otimes\left(\alpha w_{1}+\beta w_{2}\right) &=\alpha\left(v \otimes w_{1}\right)+\beta\left(v \otimes w_{2}\right) .
\end{aligned}
$$
From the proof of existence of tensor products $(\S 3)$ we obtain
Proposition 1.2. Let $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ be a basis for $V$ and $\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right) a$ basis for $W$. Then the mn elements $e_{i} \otimes f_{j}(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$ form a basis for $V \otimes W$.
In particular,
$$
\operatorname{dim}(V \otimes W)=\operatorname{dim} V \cdot \operatorname{dim} W .
$$
CoROLLARY. Let $v \in V$ and $w \in W$ be nonzero elements. Then $v \otimes w \neq$ 0 .

PRoof. Take bases of $V$ and $W$ which contain $v$ and $w$ respectively. Then $v \otimes w$ is a basis element of $V \otimes W$. Therefore $v \otimes w \neq 0$.

If we arrange the basis elements $e_{i} \otimes f_{j}$ in the order $e_{1} \otimes f_{1}, \ldots, e_{1} \otimes f_{m}$, $e_{2} \otimes f_{1}, \ldots, e_{2} \otimes f_{m}, \ldots, e_{n} \otimes f_{1}, \ldots, e_{n} \otimes f_{m}$, then we say that the basis elements are arranged in lexicographical order.

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线性代数作业代写linear algebra代考|Definition of tensor products

我们现在准备定义 $k$-向量空间。
定义 1.2。让 $V$ 和 $W$ 是 $k$-向量空间。这对 $\left(U_{0}, l\right)$ 由一个 $k$-向量空间 $U_{0}$ 和双线性映射 $l: V \times W \rightarrow U_{0}$ ,满足 (T1) 和 (T2),由定理 $1.1$ 保证其存在,称为张量积 $V$ 和 $W$. 我们写 $U_{0}=V \otimes W$ 和 $t(v, w)=v \otimes w$. 映射 $l$ 称为张量积的规范映射 $U_{0}=V \otimes W$.
在下文中,我们有时会说向量空间 $U_{0}$ 是张量积 $V \otimes W$ 的 $V$ 和 $W$. 这意味着存在一个双线性 映射 $t: V \times W \rightarrow U_{0}$ 满足 (T1) 和 (T2) (或 $\left.(\mathrm{T})\right)$ 。在这种表示法中,条件 (T) 可以重述如 下: 张量积 $U_{0}$ 的 $V$ 和 $W$ 由 $v \otimes w(=l(v, w)) \mid v \in V, w \in W$. 定理的唯一性 (2) 1.1可以 重述如下:如果 $U_{0}$ 和 $U_{0}^{\prime}$ 是的张量积 $V$ 和 $W$ ,则存在唯一的线性同构 $F_{0}: U_{0} \rightarrow U_{0}^{\prime}$ 这样 $F_{0}$ 同事 $v \otimes w$ 在 $U_{0}^{\prime}$ 至 $v \otimes w(=l(v, w))$ 在 $U_{0}$ 对所有人 $v \in V, w \in W$.
在定理 $1.1$ 的存在性证明中,我们使用了基数 $V$ 和 $W$. 因此,可能很难理解张量积的含义。 因此,我们给出了张量积的另一种构造 $\left(U_{0}, t\right)$ 无碱基。
让 $V$ 和 $W$ 是的对偶空间 $V$ 和 $W$ 分别 (见 $\S 1$ 对偶空间),并让 $U_{0}$ 定义为
$$
U_{0}=\mathscr{L}(V, W ; k) .
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of tensor products

我们从容易获得的属性开始。重写规范映射的双线性l,我们有以下命题。
主张1.1 (双线性 $\otimes)$ 。为了 $\alpha, \beta \in k, v, v_{1}, v_{2} \in V, w, w_{1}, w_{2} \in W$ ,我们有
$$
\left(\alpha v_{1}+\beta v_{2}\right) \otimes w=\alpha\left(v_{1} \otimes w\right)+\beta\left(v_{2} \otimes w\right), v \otimes\left(\alpha w_{1}+\beta w_{2}\right) \quad=\alpha\left(v \otimes w_{1}\right)+\beta\left(v \otimes w_{2}\right) .
$$
从张量积存在的证明 $(\S 3)$ 我们得到
命题 1.2。让 $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ 成为一个基础 $V$ 和 $\left(f_{1}, \ldots, f_{m}\right) a$ 依据 $W$. 那么 $\mathrm{mn}$ 个元素 $e_{i} \otimes f_{j}(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$ 形成一个基础 $V \otimes W$.
尤其是,
$$
\operatorname{dim}(V \otimes W)=\operatorname{dim} V \cdot \operatorname{dim} W .
$$
推论。让 $v \in V$ 和 $w \in W$ 是非零元素。然后 $v \otimes w \neq 0$.
证明。采取基地 $V$ 和 $W$ 其中包含 $v$ 和 $w$ 分别。然后 $v \otimes w$ 是一个基本元素 $V \otimes W$. 所以 $v \otimes w \neq 0$.
如果我们安排基本元素 $e_{i} \otimes f_{j}$ 按顺序 $e_{1} \otimes f_{1}, \ldots, e_{1} \otimes f_{m}$ ,
$e_{2} \otimes f_{1}, \ldots, e_{2} \otimes f_{m}, \ldots, e_{n} \otimes f_{1}, \ldots, e_{n} \otimes f_{m}$ ,那么我们说基本元素是按字典顺序排列的。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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