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线性代数网课代修|张量代数代写Tensor algebra辅导|Math403

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 数值分析
  • 高等线性代数
  • 矩阵论
  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of tensor spaces

(a) Components of tensors and their transformation laws. Let $V$ be a $k$ vector space and let $V^{}$ be the dual space of $V$. In this section we describe the properties of the tensor space $$ T_{q}^{p}(V)=\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}{p \text { factors }} \otimes \underbrace{V^{} \otimes \cdots \otimes V^{*}}{q \text { factors }}
$$
defined in $\S 1$.
If $\operatorname{dim}{k} V=n, \operatorname{dim}{k} T_{q}^{p}(V)=n^{p+q}$ since the dimension of a tensor product is the product of the dimensions of the factors. Choose a basis $\mathscr{E}=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ of $V$. Let $\left(f^{1}, \ldots, f^{n}\right)$ be the dual basis of $\mathscr{E}$. Then, the following $n^{p+q}$ elements
$$
\left{e_{i_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{i_{p}} \otimes f^{j_{1}} \otimes \cdots \otimes f^{j_{q}} \mid 1 \leq i_{\nu} \leq n, 1 \leq j_{\mu} \leq n\right}
$$
form a basis for $T_{q}{ }^{p}(V)$ (Proposition $1.2^{\prime}$ ). We call this basis the standard basis for $T_{q}^{p}(V)$ corresponding to $\mathscr{E}$. To simplify the notation, set
$$
e_{i_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{i_{p}} \otimes f^{j_{1}} \otimes \cdots \otimes f^{j_{q}}=t_{i_{1}, \ldots, i_{p}}^{j_{1}, \cdots, j_{q}} .
$$
Then an element $z$ of $T_{q}^{p}(V)$ can be uniquely expressed as
$$
z=\sum_{i_{1}, \ldots, i_{p}, j_{1}, \ldots, j_{q}} \xi_{j_{1}, \ldots, j_{q}}^{i_{1}, \ldots, i_{p}} t_{i_{1}, \ldots, i_{p}}^{j_{1}, \ldots, j_{q}} \quad\left(\xi_{j_{1}, \ldots, j_{q}}^{i_{1}, \ldots, i_{p}} \in k\right) .
$$
The $n^{p+q}$ elements $\left{\xi_{j_{1}, \ldots, j_{q}}^{i_{1}, \ldots, i_{p}}\right} \quad\left(1 \leq i_{\nu} \leq n, 1 \leq j_{\mu} \leq n\right)$ of $k$ (or the array of these elements) are called the components of $z$ with respect to the basis $\mathscr{E}$. (Precisely speaking, they should be called the components with respect to the standard basis corresponding to $\mathscr{E}$.)

线性代数作业代写linear algebra代考|Symmetric tensors and alternating tensors

(a) Definitions. There are families of tensors which are called symmetric or alternating. In this section, we give their definitions and study their properties. First, we consider the space $T^{p}(V)$ of contravariant tensors of degree $p$. In this section, we write $T^{p}(V)=T^{p}$ for simplicity.

Let $\mathfrak{S}{p}$ be the set of permutations of the set ${1, \ldots, p}$ with $p$ elements. Denote by $\operatorname{sgn}(\sigma)$ the signature of $\sigma \in \mathfrak{S}{p}$ (i.e., $\operatorname{sgn}(\sigma)=1$ if $\sigma$ is an even permutation and $\operatorname{sgn}(\sigma)=-1$ if $\sigma$ is an odd permutation.)

From the next proposition we know that there corresponds to every element $\sigma$ of $\mathfrak{S}{p}$ a linear transformation $P{\sigma}$ of $T^{p}$.

PRoposition 2.4. (1) Let $\sigma \in \mathfrak{S}{p}$. There exists a unique linear transformation $P{\sigma}$ of $T^{p}$ such that
$$
P_{\sigma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{p}\right)=v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(p)} \quad\left(v_{i} \in V\right) .
$$
Moreover, $P_{\sigma}$ is a linear isomorphism.
(2) For $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}{p}, P{\sigma} P_{\tau}=P_{\sigma \tau}$.
Denote by 1 the identity permutation. Then
$$
P_{1}=I \quad\left(=\text { the identity transformation of } T^{p}\right) .
$$
Proof. (1) To prove the existence and the uniqueness of $P_{\sigma}$, consider a $p$-multilinear mapping defined as follows;
$$
\begin{array}{ccc}
V \times \cdots \times V & \longrightarrow & T^{p} \
\Psi & & \Psi \
\left(v_{1}, \ldots, v_{p}\right) & \mapsto & v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(p)^{*}}
\end{array}
$$

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线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of tensor spaces

(a) 张量的分量及其变换定律。让 $V$ 做一个 $k$ 向量空间和让 $V$ 成为对偶空间 $V$. 在本节中,我 们将描述张量空间的属性
$$
T_{q}^{p}(V)=\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V} p \text { factors } \otimes \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V^{*}} q \text { factors }
$$
定义在 $\S 1$.
如果 $\operatorname{dim} k V=n, \operatorname{dim} k T_{q}^{p}(V)=n^{p+q}$ 因为张量积的维度是因子维度的乘积。选择一个基 础 $\mathscr{E}=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ 的 $V$. 让 $\left(f^{1}, \ldots, f^{n}\right)$ 成为双重基础 $\mathscr{E}$. 那么,以下 $n^{p+q}$ 元素
形成一个基础 $T_{q}{ }^{p}(V)$ (主张 $1.2^{\prime}$ )。我们称这个基础为标准基础 $T_{q}^{p}(V)$ 对应于 $\mathscr{E}$. 为了简化 符号,设置
$$
e_{i_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{i_{p}} \otimes f^{j_{1}} \otimes \cdots \otimes f^{j_{q}}=t_{i_{1}, \cdots, i_{p}}^{j_{1}, \cdots, j_{q}} .
$$
然后一个元素 $z$ 的 $T_{q}^{p}(V)$ 可以唯一地表示为
$$
z=\sum_{i_{1}, \ldots, i_{p}, j_{1}, \ldots, j_{q}} \xi_{j_{1}, \ldots, j_{q}}^{i_{1}, \ldots, i_{p}} t_{i_{1}, \ldots, i_{p}}^{j_{1}, \ldots, j_{q}} \quad\left(\xi_{j_{1}, \ldots, j_{q}}^{i_{1}, \ldots, i_{p}} \in k\right) .
$$
这 $n^{p+q}$ 元素
的 $k$ (或这些元素的数组) 称为 $z$ 关于基础 $\mathscr{E}$. (准确地说,它们应该被称为相对于对应的标 准基础的组件 $\mathscr{E} .)$

线性代数作业代写linear algebra代考|Symmetric tensors and alternating tensors

(a) 定义。有一些张量族被称为对称或交替。在本节中,我们给出它们的定义并研究它们的 性质。首先,我们考虑空间 $T^{p}(V)$ 度的逆变张量 $p$. 在本节中,我们写 $T^{p}(V)=T^{p}$ 为简单 起见。
让 $p$ 是集合的排列集合 $1, \ldots, p$ 和 $p$ 元素。表示为 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ 的签名 $\sigma \in \mathfrak{S} p(\mathrm{E} , \operatorname{sgn}(\sigma)=1$ 如果 $\sigma$ 是一个偶排列并且 $\operatorname{sgn}(\sigma)=-1$ 如果 $\sigma$ 是一个奇怪的排列。)
从下一个命题我们知道有对应于每个元素 $\sigma$ 的 $\mathfrak{S} p$ 线性变换 $P \sigma$ 的 $T^{p}$.
命题 2.4。(1) 让 $\sigma \in \Im p$. 存在唯一的线性变换 $P \sigma$ 的 $T^{p}$ 这样
$$
P_{\sigma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{p}\right)=v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(p)} \quad\left(v_{i} \in V\right) .
$$
而且, $P_{\sigma}$ 是线性同构。
(2) 对于 $\sigma, \tau \in \mathfrak{S} p, P \sigma P_{\tau}=P_{\sigma \tau}$.
用 1 表示恒等排列。然后
$$
P_{1}=I \quad\left(=\text { the identity transformation of } T^{p}\right) .
$$
证明。(1) 证明存在性和唯一性 $P_{\sigma}$ ,考虑一个 $p$-定义如下的多线性映射;
$$
V \times \cdots \times V \quad \longrightarrow \quad T^{p} \Psi \quad \Psi\left(v_{1}, \ldots, v_{p}\right) \mapsto v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(p)^{*}}
$$

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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