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线性代数网课代修|张量代数代写Tensor algebra辅导|MA26500

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Algebraic systems with bilinear multiplication

Let $A$ be a $k$-vector space and $m$ a bilinear mapping $m$ of $A \times A$ into $A$. As we explained in $\$ 2.1$ Example 2.4, we can define a multiplication on $A$ by calling $m\left(a_{1}, a_{2}\right)$ the product of $a_{1}$ and $a_{2}$. In this case $A$ (more exactly, the pair $(A, m))$ is called an algebra over $k$. In the following, we sometimes write $m\left(a_{1}, a_{2}\right)=a_{1} \cdot a_{2}$ for simplicity.

An associative algebra-in $\S 2.4(\mathrm{~b})$ – and a Lie algebra whose definition we give below, are interesting examples of algebras.

For an algebra in general, using the mapping $m$, we can define homomorphism, isomorphism, subalgebra, ideal, factor algebra, and other properties in a similar fashion as in the case of an associative algebra.

Let $A$ be an algebra of dimension $n$ and $\mathscr{E}=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ a basis of $A$. The product $m\left(e_{i}, e_{j}\right)$ can be expressed as a linear combination of basis elements,
$$
m\left(e_{i}, e_{j}\right)=\sum_{r=1}^{n} \alpha_{i j}{ }^{r} e_{r} \quad\left(\alpha_{i j}{ }^{r} \in k\right) .
$$
The $n^{3}$ elements $\alpha_{i j}{ }^{r}$ of $k$ are called the structure constants of $A$ with respect to the basis $\mathscr{E}$. We shall show below that they are the components of $m$ with respect to $\mathscr{E}$, when $m$ is regarded as tensor of type $(1,2)$.
By the isomorphism $\mathscr{L}(A, A ; A) \cong T_{2}^{1}(A)$ explained in Example 2.4, $\S 2.1$, to a standard basis element $t_{r}^{p q} \quad\left(=f^{p} \otimes f^{q} \otimes e_{r}\right.$, where $\left(f^{1}, \ldots, f^{n}\right)$ is the dual basis of $\mathscr{E}$ ), there corresponds a bilinear mapping of $A \times A$ into $A$ such that $\left(e_{i}, e_{j}\right) \mapsto f^{p}\left(e_{i}\right) f^{q}\left(e_{j}\right) e_{r}=\delta_{p i} \delta_{q j} e_{r}$ (where $\delta_{i j}$ denotes Kronecker’s symbol). Thus, if we express the mapping $m$ by standard basis elements as
$$
m=\sum_{p, q, r} \xi_{p q}{ }^{r} t_{r}^{p q} \quad\left(\xi_{p q}{ }^{r} \in k\right),
$$
we have
$$
m\left(e_{i}, e_{j}\right)=\sum_{p, q, r} \xi_{p q}{ }^{r} \delta_{p i} \delta_{q j} e_{r}=\sum_{r} \xi_{i j}{ }^{r} e_{r},
$$
which shows $\alpha_{i j}{ }^{r}=\xi_{i j}{ }^{r}$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Replicas of matrices

In order to prepare for the further discussion of Lie algebras, we introduce the theory $\left({ }^{1}\right)$ of replicas of a matrix originated by Chevalley. We start with the following results on matrices. As before $k$ denotes a field of characteristic $0 .$

THEOREM I. Let $A$ be an $n \times n$ matrix with coefficients in $k . \quad Z(A)$ denotes the set of matrices which commute with $A$. Then a matrix $X$ which commutes with all elements of $Z(A)$ can be expressed as a polynomial in A. Namely, there exists a polynomial $P(x)=\sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} x^{i} \quad\left(\alpha_{i} \in k\right)$ such that $X=\sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} A^{i}$.

For a proof, see, e.g., N. Jacobson, Lectures in abstract algebra, vol. II, van Nostrand (republished by Springer), p. $113 .$

Definition 4.3. An $n \times n$ matrix $A$ is said to be semisimple if it is similar to a diagonal matrix over some extension field of $k$, and nilpotent if there exists an integer $\nu$ such that $A^{\nu}=0$.

THEOREM II (Jordan decomposition). An $n \times n$ matrix $A$ can be written uniquely as a sum $A=S+N$, where $S$ is semisimple, $N$ is nilpotent, and $S N=N S$. Moreover, $S$ and $N$ can be expressed as polynomials in $A$ without constant term. (That is, there are polynomials $P_{1}(x)$ and $P_{2}(x)$ such that $S=P_{1}(A), N=P_{2}(A)$, and $P_{1}(0)=P_{2}(0)=0$.) $S$ and $N$ are called the semisimple part and the nilpotent part of $A$ respectively.

For a proof, see, e.g., I. Satake, Linear algebra, Marcel Dekker, p. 168. $\left(^{2}\right)$ Let $V$ be an $n$-dimensional $k$-vector space. We can define semisimple and nilpotent linear transformations. And, for a linear transformation $A$, the semisimple part and nilpotent part of $A$ are also defined and denoted by $A^{(\mathrm{s})}$ and $A^{(\mathrm{n})}$ respectively. They are the linear transformations whose matrices are the semisimple part and nilpotent part of the matrix of $A$ with respect to any basis.

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线性代数作业代写linear algebra代考|Algebraic systems with bilinear multiplication

让 $A$ 做一个 $k$-向量空间和 $m$ 双线性映射 $m$ 的 $A \times A$ 进入 $A$. 正如我们在 $\$ 2.1$ 例 2.4,我们可以 定义一个乘法 $A$ 通过调用 $m\left(a_{1}, a_{2}\right)$ 的产物 $a_{1}$ 和 $a_{2}$. 在这种情况下 $A$ (更准确地说,这对 $(A, m))$ 被称为代数 $k$. 下面,我们有时会写 $m\left(a_{1}, a_{2}\right)=a_{1} \cdot a_{2}$ 为简单起见。
关联代数 $\S 2.4(\mathrm{~b})$ 一一还有一个我们在下面给出定义的李代数,都是有趣的代数例子。
对于一般代数,使用映射 $m$ ,我们可以以与关联代数类似的方式定义同态、同构、子代数、 理想、因子代数和其他属性。
让 $A$ 是维数代数 $n$ 和 $\mathscr{E}=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ 一个基础 $A$. 产品 $m\left(e_{i}, e_{j}\right)$ 可以表示为基元素的线性 组合,
$$
m\left(e_{i}, e_{j}\right)=\sum_{r=1}^{n} \alpha_{i j}{ }^{r} e_{r} \quad\left(\alpha_{i j}{ }^{r} \in k\right) .
$$
这 $n^{3}$ 元素 $\alpha_{i j}{ }^{r}$ 的 $k$ 被称为结构常数 $A$ 关于基础 $\mathscr{E}$. 我们将在下面展示它们是 $m$ 关于 $\mathscr{E}$ ,什么时 候 $m$ 被视为类型的张量 $(1,2)$.
由同构 $\mathscr{L}(A, A ; A) \cong T_{2}^{1}(A)$ 例 $2.4$ 中解释过, $\S 2.1$, 到标准基元 $t_{r}^{p q} \quad\left(=f^{p} \otimes f^{q} \otimes e_{r}\right.$ ,在哪里 $\left(f^{1}, \ldots, f^{n}\right)$ 是双重基础 $\left.\mathscr{E}\right)$ ,对应的双线性映射为 $A \times A$ 进入 $A$ 这样 $\left(e_{i}, e_{j}\right) \mapsto f^{p}\left(e_{i}\right) f^{q}\left(e_{j}\right) e_{r}=\delta_{p i} \delta_{q j} e_{r}$ (在哪里 $\delta_{i j}$ 表示克罗内克符号)。因此,如果我 们表达映射 $m$ 按标准基元素为
$$
m=\sum_{p, q, r} \xi_{p q}{ }^{r} t_{r}^{p q} \quad\left(\xi_{p q}{ }^{r} \in k\right),
$$
我们有
$$
m\left(e_{i}, e_{j}\right)=\sum_{p, q, r} \xi_{p q}{ }^{r} \delta_{p i} \delta_{q j} e_{r}=\sum_{r} \xi_{i j}^{r} e_{r}
$$
这表明 $\alpha_{i j}{ }^{r}=\xi_{i j}{ }^{r}$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Replicas of matrices

为了为李代数的进一步讨论做准备,我们介绍该理论 $\left({ }^{1}\right)$ Chevalley 发起的矩阵的复制品。 我们从以下矩阵结果开始。和以前一样 $k$ 表示特征场 0 .
定理 I. 让 $A$ 豆 $n \times n$ 系数为的矩阵 $k . Z(A)$ 表示与 $A$. 然后是一个矩阵 $X$ 它与所有元素通勤 $Z(A)$ 可以表示为A中的多项式。即存在一个多项式 $P(x)=\sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} x^{i} \quad\left(\alpha_{i} \in k\right)$ 这样 $X=\sum_{i=0}^{n} \alpha_{i} A^{i}$
有关证明,请参见例如 N. Jacobson, Lectures in abstract algebra, vol. II, van Nostrand(由 Springer 再版),p.113.
定义 4.3。一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 如果它类似于某个扩展域上的对角矩阵,则称它是半简单的 $k$, 如果存在整数则为幂零 $\nu$ 这样 $A^{\nu}=0$.
定理 II (乔丹分解) 。一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 可以唯一地写为总和 $A=S+N$ ,在哪里 $S$ 是半简 单的, $N$ 是幂零的,并且 $S N=N S$. 而且, $S$ 和 $N$ 可以表示为多项式 $A$ 没有常数项。(即 有多项式 $P_{1}(x)$ 和 $P_{2}(x)$ 这样 $S=P_{1}(A), N=P_{2}(A)$ ,和 $P_{1}(0)=P_{2}(0)=0$.) $S$ 和 $N$ 被 称为半单部分和幂零部分 $A$ 分别。
有关证明,请参见例如 I. Satake,Linear algebra,Marcel Dekker,p。168. $\left(^{2}\right)$ 让 $V$ 豆 $n$ 维 $k$-向量空间。我们可以定义半简单和幂零线性变换。并且,对于线性变换 $A$, 的半单部分和 幂零部分 $A$ 也被定义和表示为 $A^{(\mathrm{s})}$ 和 $A^{(\mathrm{n})}$ 分别。它们是线性变换,其矩阵是矩阵的半单部分 和幂零部分 $A$ 关于任何依据。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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