## 线性代数作业代写linear algebra代考|PROBLEMS

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• 数值分析
• 高等线性代数
• 矩阵论
• 优化理论
• 线性规划
• 逼近论

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Let A, B, C be non–collinear points

1. Find the point where the line through $A=(3,-2,7)$ and $B=$ $(13,3,-8)$ meets the $x z$-plane.
[Ans: $(7,0,1) .]$
2. Let $A, B, C$ be non-collinear points. If $E$ is the mid-point of the segment $B C$ and $F$ is the point on the segment $E A$ satisfying $\frac{A F}{E F}=2$, prove that
$$\mathbf{F}=\frac{1}{3}(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C})$$
$(F$ is called the centroid of triangle $A B C .)$
3. Prove that the points $(2,1,4),(1,-1,2),(3,3,6)$ are collinear.
4. If $A=(2,3,-1)$ and $B=(3,7,4)$, find the points $P$ on the line $A B$ satisfying $P A / P B=2 / 5$.
[Ans: $\left(\frac{16}{7}, \frac{29}{7}, \frac{3}{7}\right)$ and $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3},-\frac{13}{3}\right)$.]
5. Let $\mathcal{M}$ be the line through $A=(1,2,3)$ parallel to the line joining $B=(-2,2,0)$ and $C=(4,-1,7)$. Also $\mathcal{N}$ is the line joining $E=$ $(1,-1,8)$ and $F=(10,-1,11)$. Prove that $\mathcal{M}$ and $\mathcal{N}$ intersect and find the point of intersection.
[Ans: $(7,-1,10)$.]

## 线性代数作业代写linear algebra代考|determined by the two planes

1. Prove that the triangle formed by the points $(-3,5,6),(-2,7,9)$ and $(2,1,7)$ is a $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ triangle.
2. Find the point on the line $A B$ closest to the origin, where $A=$ $(-2,1,3)$ and $B=(1,2,4)$. Also find this shortest distance.
[Ans: $\left(-\frac{16}{11}, \frac{13}{11}, \frac{35}{11}\right)$ and $\left.\sqrt{\frac{150}{11}} .\right]$
3. A line $\mathcal{N}$ is determined by the two planes
$$x+y-2 z=1, \quad \text { and } \quad x+3 y-z=4$$
Find the point $P$ on $\mathcal{N}$ closest to the point $C=(1,0,1)$ and find the distance $P C$.
$\left[\right.$ Ans: $\left(\frac{4}{3}, \frac{17}{15}, \frac{11}{15}\right)$ and $\left.\frac{\sqrt{330}}{15} .\right]$
4. Find a linear equation describing the plane perpendicular to the line of intersection of the planes $x+y-2 z=4$ and $3 x-2 y+z=1$ and which passes through $(6,0,2)$.
[Ans: $3 x+7 y+5 z=28 .]$
5. Find the length of the projection of the segment $A B$ on the line $\mathcal{L}$, where $A=(1,2,3), B=(5,-2,6)$ and $\mathcal{L}$ is the line $C D$, where $C=(7,1,9)$ and $D=(-1,5,8)$.
[Ans: $\frac{17}{3}$.]
6. Find a linear equation for the plane through $A=(3,-1,2)$, perpendicular to the line $\mathcal{L}$ joining $B=(2,1,4)$ and $C=(-3,-1,7)$. Also find the point of intersection of $\mathcal{L}$ and the plane and hence determine the distance from $A$ to $\mathcal{L}$. [Ans: $5 x+2 y-3 z=7,\left(\frac{111}{38}, \frac{52}{38}, \frac{131}{38}\right), \sqrt{\frac{293}{38}}$.]
7. If $P$ is a point inside the triangle $A B C$, prove that
$$\mathbf{P}=r \mathbf{A}+s \mathbf{B}+t \mathbf{C}$$
where $r+s+t=1$ and $r>0, s>0, t>0$.
8. If $B$ is the point where the perpendicular from $A=(6,-1,11)$ meets the plane $3 x+4 y+5 z=10$, find $B$ and the distance $A B$.
[Ans: $B=\left(\frac{123}{50}, \frac{-286}{50}, \frac{255}{50}\right)$ and $A B=\frac{59}{\sqrt{50}}$.]

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Let A, B, C be non–collinear points

1. 找到线通过的点一种=(3,−2,7)和乙= (13,3,−8)符合X和-飞机。
[年：(7,0,1).]
2. 让一种,乙,C是非共线点。如果和是段的中点乙C和F是线段上的点和一种令人满意的一种F和F=2， 证明
F=13(一种+乙+C)
(F称为三角形的质心一种乙C.)
3. 证明点(2,1,4),(1,−1,2),(3,3,6)是共线的。
4. 如果一种=(2,3,−1)和乙=(3,7,4), 找到点磷在线上一种乙令人满意的磷一种/磷乙=2/5.
[年：(167,297,37)和(43,13,−133).]
5. 让米成为一线通过一种=(1,2,3)平行于连接线乙=(−2,2,0)和C=(4,−1,7). 还ñ是连接线和= (1,−1,8)和F=(10,−1,11). 证明米和ñ相交并找到交点。
[答：(7,−1,10).]

## 线性代数作业代写linear algebra代考|determined by the two planes

1. 证明点组成的三角形(−3,5,6),(−2,7,9)和(2,1,7)是一个30∘,60∘,90∘三角形。
2. 找到线上的点一种乙离原点最近的地方一种= (−2,1,3)和乙=(1,2,4). 也找到这个最短距离。
[答：(−1611,1311,3511)和15011.]
3. 一条线ñ由两个平面决定
X+和−2和=1, 和 X+3和−和=4
找到重点磷在ñ最接近点C=(1,0,1)并找到距离磷C.
[年：(43,1715,1115)和33015.]
4. 找到一个描述垂直于平面相交线的平面的线性方程X+和−2和=4和3X−2和+和=1并且通过(6,0,2).
[年：3X+7和+5和=28.]
5. 找到线段的投影长度一种乙在线上一世， 在哪里一种=(1,2,3),乙=(5,−2,6)和一世是线CD， 在哪里C=(7,1,9)和D=(−1,5,8).
[年：173.]
6. 求平面的线性方程通过一种=(3,−1,2), 垂直于线一世加入乙=(2,1,4)和C=(−3,−1,7). 还要找到交点一世和飞机，从而确定距离一种到一世. [年：5X+2和−3和=7,(11138,5238,13138),29338.]
7. 如果磷是三角形内的一个点一种乙C， 证明
磷=r一种+s乙+吨C
在哪里r+s+吨=1和r>0,s>0,吨>0.
8. 如果乙是垂线从的点一种=(6,−1,11)遇见飞机3X+4和+5和=10， 找乙和距离一种乙.
[年：乙=(12350,−28650,25550)和一种乙=5950.]

# 计量经济学代写

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Distance from a point to a plane

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Let $P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ and $\mathcal{P}$ be the plane
$$a x+b y+c z=d .$$
Then there is a unique point $P$ on $\mathcal{P}$ such that $\overrightarrow{P_{0} P}$ is normal to $\mathcal{P}$. Morever
$$P_{0} P=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$Proof. The line through $P_{0}$ normal to $\mathcal{P}$ is given by
$$\mathbf{P}=\mathbf{P}{0}+t(a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k})$$ or in terms of coordinates $$x=x{0}+a t, \quad y=y_{0}+b t, \quad z=z_{0}+c t .$$
Substituting these formulae in equation $8.32$ gives
\begin{aligned} a\left(x_{0}+a t\right)+b\left(y_{0}+b t\right)+c\left(z_{0}+c t\right) &=d \ t\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) &=-\left(a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d\right) \end{aligned}
so
$$t=-\left(\frac{a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right)$$\begin{aligned} P_{0} P=\left|\overrightarrow{P_{0} P}\right| &=|t(a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k})| \ &=|t| \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \ &=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d\right|}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \ &=\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{aligned}
Other interesting geometrical facts about lines and planes are left to the problems at the end of this chapter.

$$\mathbf{P}=\mathbf{P} {0}+t(a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k}) 给出○r一世n吨和r米s○FC○○rd一世n一种吨和sx=x {0}+at, \quad y=y_{0}+bt, \quad z=z_{0}+ct 。 小号你bs吨一世吨你吨一世nG吨H和s和F○r米你一世一种和一世n和q你一种吨一世○n8.32G一世v和s 一种(X0+一种吨)+b(和0+b吨)+C(和0+C吨)=d 吨(一种2+b2+C2)=−(一种X0+b和0+C和0−d) s○ t=-\left(\frac{a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\right ) 磷0磷=|磷0磷→|=|吨(一种一世+bj+C到)| =|吨|一种2+b2+C2 =|一种X0+b和0+C和0−d|一种2+b2+C2一种2+b2+C2 =|一种X0+b和0+C和0−d|一种2+b2+C2$$

# 计量经济学代写

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A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Show that the planes

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$$x+y-2 z=1 \quad \text { and } \quad x+3 y-z=4$$
intersect in a line and find the distance from the point $C=(1,0,1)$ to this line.
Solution. Solving the two equations simultaneously gives
$$x=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2} z, \quad y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} z,$$
where $z$ is arbitrary. Hence
$$x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}=-\frac{1}{2} \mathbf{i}-\frac{3}{2} \mathbf{j}+z\left(\frac{5}{2} \mathbf{i}-\frac{1}{2} \mathbf{j}+\mathbf{k}\right),$$
which is the equation of a line $\mathcal{L}$ through $A=\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, 0\right)$ and having direction vector $\frac{5}{2} \mathbf{i}-\frac{1}{2} \mathbf{j}+\mathbf{k}$.

We can now proceed in one of three ways to find the closest point on $\mathcal{L}$ to $A$.
One way is to use equation $8.17$ with $B$ defined by
$$\overrightarrow{A B}=\frac{5}{2} \mathbf{i}-\frac{1}{2} \mathbf{j}+\mathbf{k}$$
Another method minimizes the distance $C P$, where $P$ ranges over $\mathcal{L}$.
A third way is to find an equation for the plane through $C$, having $\frac{5}{2} \mathbf{i}-\frac{1}{2} \mathbf{j}+\mathbf{k}$ as a normal. Such a plane has equation
$$5 x-y+2 z=d,$$
where $d$ is found by substituting the coordinates of $C$ in the last equation.
$$d=5 \times 1-0+2 \times 1=7 .$$
We now find the point $P$ where the plane intersects the line $\mathcal{L}$. Then $\overrightarrow{C P}$ will be perpendicular to $\mathcal{L}$ and $C P$ will be the required shortest distance from $C$ to $\mathcal{L}$. We find using equations $8.27$ that
$$5\left(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2} z\right)-\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} z\right)+2 z=7$$

X+和−2和=1 和 X+3和−和=4

X=−12+52和,和=32−12和,

X一世+和j+和到=−12一世−32j+和(52一世−12j+到),

5X−和+2和=d,

d=5×1−0+2×1=7.

5(−12+52和)−(32−12和)+2和=7

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A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Normal equation for a plane

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|collinear points

$$A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), C=\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)$$
be three non-collinear points. Then the plane through $A, B, C$ is given by
$$\overrightarrow{A P} \cdot(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C})=0$$
or equivalently,
$$\left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0$$
where $P=(x, y, z)$.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|symmetrical

Figure 8.17: The plane $a x+b y+c z=d$.
REMARK 8.7.1 Equation $8.24$ can be written in more symmetrical form as
$$\left|\begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{array}\right|=0$$
Proof. Let $\mathcal{P}$ be the plane through $A, B, C$. Then by equation $8.21$, we have $P \in \mathcal{P}$ if and only if $\overrightarrow{A P}$ is a linear combination of $\overrightarrow{A B}$ and $\overrightarrow{A C}$ and so by lemma 8.6.1(i), using the fact that $\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C} \neq 0$ here, if and only if $\overrightarrow{A P}$ is perpendicular to $\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}$. This gives equation 8.23.

Equation $8.24$ is the scalar triple product version of equation $8.23$, taking into account the equations
\begin{aligned} &\overrightarrow{A P}=\left(x-x_{1}\right) \mathbf{i}+\left(y-y_{1}\right) \mathbf{j}+\left(z-z_{1}\right) \mathbf{k} \ &\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1}\right) \mathbf{i}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \mathbf{j}+\left(z_{2}-z_{1}\right) \mathbf{k} \ &\overrightarrow{A C}=\left(x_{3}-x_{1}\right) \mathbf{i}+\left(y_{3}-y_{1}\right) \mathbf{j}+\left(z_{3}-z_{1}\right) \mathbf{k} \end{aligned}

## 线性代数作业代写linear algebra代考|collinear points

|X−X1和−和1和−和1 X2−X1和2−和1和2−和1 X3−X1和3−和1和3−和1|=0

## 线性代数作业代写linear algebra代考|symmetrical

|X和和1 X1和1和11 X2和2和21 X3和3和31|=0

# 计量经济学代写

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Area of a triangle

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If $A, B, C$ are distinct non-collinear points, then
(i) the distance $d$ from $C$ to the line $A B$ is given by
$$d=\frac{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}{A B}$$
(ii) the area of the triangle $A B C$ equals
$$\frac{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}{2}=\frac{|\mathbf{A} \times \mathbf{B}+\mathbf{B} \times \mathbf{C}+\mathbf{C} \times \mathbf{A}|}{2} .$$
Proof. The area $\Delta$ of triangle $A B C$ is given by
$$\Delta=\frac{A B \cdot C P}{2},$$
where $P$ is the foot of the perpendicular from $C$ to the line $A B$. Now by formula $8.13$, we have
\begin{aligned} C P &=\frac{\sqrt{A C^{2} \cdot A B^{2}-(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B})^{2}}}{A B} \ &=\frac{|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|}{A B}, \end{aligned}

(i) 距离d从C到线一种乙是（谁）给的
d=|一种乙→×一种C→|一种乙
(ii) 三角形的面积一种乙C等于
|一种乙→×一种C→|2=|一种×乙+乙×C+C×一种|2.

Δ=一种乙⋅C磷2,

C磷=一种C2⋅一种乙2−(一种C→⋅一种乙→)2一种乙 =|一种乙→×一种C→|一种乙,

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B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Lines

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Use the formulae

If $A=(5,0,7)$ and $B=(2,-3,6)$, find the points $P$ on the line $A B$ which satisfy $A P / P B=3$.
Solution. Use the formulae
$$\mathbf{P}=\mathbf{A}+t \overrightarrow{A B} \quad \text { and } \quad\left|\frac{t}{1-t}\right|=\frac{A P}{P B}=3$$
Then
$$\frac{t}{1-t}=3 \text { or }-3$$
so $t=\frac{3}{4}$ or $t=\frac{3}{2}$. The corresponding points are $\left(\frac{11}{4}, \frac{9}{4}, \frac{25}{4}\right)$ and $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
DEFINITION 8.4.2 Let $X$ and $Y$ be non-zero vectors. Then $X$ is parallel or proportional to $Y$ if $X=t Y$ for some $t \in \mathbb{R}$. We write $X | Y$ if $X$ is parallel to $Y$. If $X=t Y$, we say that $X$ and $Y$ have the same or opposite direction, according as $t>0$ or $t<0$.

DEFINITION 8.4.3 if $A$ and $B$ are distinct points on a line $\mathcal{L}$, the nonzero vector $\overrightarrow{A B}$ is called a direction vector for $\mathcal{L}$.
It is easy to prove that any two direction vectors for a line are parallel.
DEFINITION 8.4.4 Let $\mathcal{L}$ and $\mathcal{M}$ be lines having direction vectors $X$ and $Y$, respectively. Then $\mathcal{L}$ is parallel to $\mathcal{M}$ if $X$ is parallel to $Y$. Clearly any line is parallel to itself.

It is easy to prove that the line through a given point $A$ and parallel to a given line $C D$ has an equation $\mathbf{P}=\mathbf{A}+t \overrightarrow{C D}$.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Suppose A, B, C, D

Suppose $A, B, C, D$ are distinct points such that no three are collinear. Then $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ if and only if $\overrightarrow{A B} | \overrightarrow{C D}$ and $\overrightarrow{A C} | \overrightarrow{B D}$ (See Figure 8.1.)
Proof. If $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ then
\begin{aligned} &\mathbf{B}-\mathbf{A}=\mathbf{D}-\mathbf{C} \ &\mathbf{C}-\mathbf{A}=\mathbf{D}-\mathbf{B} \end{aligned}
and so $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}$. Hence $\overrightarrow{A B} | \overrightarrow{C D}$ and $\overrightarrow{A C} | \overrightarrow{B D}$.
Conversely, suppose that $\overrightarrow{A B} | \overrightarrow{C D}$ and $\overrightarrow{A C} | \overrightarrow{B D}$. Then
$$\overrightarrow{A B}=s \overrightarrow{C D} \quad \text { and } \quad \overrightarrow{A C}=t \overrightarrow{B D},$$
or
$$\mathbf{B}-\mathbf{A}=s(\mathbf{D}-\mathbf{C}) \quad \text { and } \quad \mathbf{C}-\mathbf{A}=t \mathbf{D}-\mathbf{B}$$
We have to prove $s=1$ or equivalently, $t=1$.
Now subtracting the second equation above from the first, gives
$$\mathbf{B}-\mathbf{C}=s(\mathbf{D}-\mathbf{C})-t(\mathbf{D}-\mathbf{B})$$
So
$$(1-t) \mathbf{B}=(1-s) \mathbf{C}+(s-t) \mathbf{D}$$
If $t \neq 1$, then
$$\mathbf{B}=\frac{1-s}{1-t} \mathbf{C}+\frac{s-t}{1-t} \mathbf{D}$$
and $B$ would lie on the line $C D$. Hence $t=1$.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Suppose A, B, C, D

(1−吨)乙=(1−s)C+(s−吨)D

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## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

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【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Dot product

my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在线性代数linear algebra作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的线性代数linear algebra代写服务。我们的专家在线性代数linear algebra代写方面经验极为丰富，各种线性代数linear algebra相关的作业也就用不着 说。

• 数值分析
• 高等线性代数
• 矩阵论
• 优化理论
• 线性规划
• 逼近论

## 线性代数作业代写linear algebra代考|The negative of a vector

If $X=\left[\begin{array}{l}a_{1} \ b_{1} \ c_{1}\end{array}\right]$ and $Y=\left[\begin{array}{l}a_{2} \ b_{2} \ c_{2}\end{array}\right]$, then $X \cdot Y$, the dot product of $X$ and $Y$, is defined by
$$X \cdot Y=a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2} .$$
8.3. DOT PRODUCT
157
Figure 8.6: (a) Equality of vectors; (b) Addition and subtraction of
(a) Equality of vectors; (b) Addition and subtraction of vectors.
(i) $X \cdot(Y+Z)=X \cdot Y+X \cdot Z$;
(ii) $X \cdot Y=Y \cdot X$;
(iii) $(t X) \cdot Y=t(X \cdot Y)$;
(iv) $X \cdot X=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ if $X=\left[\begin{array}{l}a \ b \ c\end{array}\right]$
(v) $X \cdot Y=X^{t} Y$;
(vi) $X \cdot X=0$ if and only if $X=0$.
The length of $X$ is defined by
$$|X|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=(X \cdot X)^{1 / 2}$$ distance between $P_{1}$ and $P_{2}$.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY

Figure 8.7: Position vector as a linear combination of $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$.
Vectors having unit length are called unit vectors.
The vectors
$$\mathbf{i}=\left[\begin{array}{l} 1 \ 0 \ 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{j}=\left[\begin{array}{l} 0 \ 1 \ 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{k}=\left[\begin{array}{l} 0 \ 0 \ 1 \end{array}\right]$$
are unit vectors. Every vector is a linear combination of $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ and $\mathbf{k}$ :
$$\left[\begin{array}{l} a \ b \ c \end{array}\right]=a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k}$$
(See Figure 8.7.)
It is easy to prove that
$$|t X|=|t| \cdot|X|$$
if $t$ is a real number. Hence if $X$ is a non-zero vector, the vectors
$$\pm \frac{1}{|X|} X$$
are unit vectors.
A useful property of the length of a vector is
$$|X \pm Y|^{2}=|X|^{2} \pm 2 X \cdot Y+|Y|^{2} .$$

## 线性代数作业代写linear algebra代考|The negative of a vector

X⋅和=一种1一种2+b1b2+C1C2.
8.3. 点积
157

(b) (a) 向量相等的加法和减法；(b) 向量的加法和减法。
（一世）X⋅(和+和)=X⋅和+X⋅和;
(二)X⋅和=和⋅X;
㈢(吨X)⋅和=吨(X⋅和);
(四)X⋅X=一种2+b2+C2如果X=[一种 b C]
(五)X⋅和=X吨和;
（我们）X⋅X=0当且仅当X=0.

|X|=一种2+b2+C2=(X⋅X)1/2之间的距离磷1和磷2.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY

[一种 b C]=一种一世+bj+C到
（见图 8.7。）

|吨X|=|吨|⋅|X|

±1|X|X

|X±和|2=|X|2±2X⋅和+|和|2.

# 计量经济学代写

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Three–dimensional space

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|position vector of P

If $A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ and $B=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ we define the symbol $\overrightarrow{A B}$ to be the column vector
$$\overrightarrow{A B}=\left[\begin{array}{c} x_{2}-x_{1} \ y_{2}-y_{1} \ z_{2}-z_{1} \end{array}\right]$$
We let $\mathbf{P}=\overrightarrow{O P}$ and call $\mathbf{P}$ the position vector of $P$.
The components of $\overrightarrow{A B}$ are the coordinates of $B$ when the axes are translated to $A$ as origin of coordinates.

We think of $\overrightarrow{A B}$ as being represented by the directed line segment from $A$ to $B$ and think of it as an arrow whose tail is at $A$ and whose head is at B. (See Figure 8.4.)

Some mathematicians think of $\overrightarrow{A B}$ as representing the translation of space which takes $A$ into $B$.

The following simple properties of $\overrightarrow{A B}$ are easily verified and correspond to how we intuitively think of directed line segments:
(i) $\overrightarrow{A B}=0 \Leftrightarrow A=B$;
(ii) $\overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}$;
(iii) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$ (the triangle law);
(iv) $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\mathbf{C}-\mathbf{B}$;
(v) if $X$ is a vector and $A$ a point, there is exactly one point $B$ such that $\overrightarrow{A B}=X$, namely that defined by $\mathbf{B}=\mathbf{A}+X$.

To derive properties of the distance function and the vector function ${\overrightarrow{P_{1}}}_{2}$, we need to introduce the dot product of two vectors in $\mathbb{R}^{3}$.

（i）一种乙→=0⇔一种=乙;
(二)乙一种→=−一种乙→;
㈢一种乙→+乙C→=一种C→（三角定律）；
(四)乙C→=一种C→−一种乙→=C−乙;
(v) 如果X是一个向量并且一种一点，正好有一点乙这样一种乙→=X，即定义为乙=一种+X.

# 计量经济学代写

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

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【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 线性代数作业代写linear algebra代考|THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY

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## 线性代数作业代写linear algebra代考|Introduction

In this chapter we present a vector-algebra approach to three-dimensional geometry. The aim is to present standard properties of lines and planes, with minimum use of complicated three-dimensional diagrams such as those involving similar triangles. We summarize the chapter:

Points are defined as ordered triples of real numbers and the distance between points $P_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ and $P_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ is defined by the formula
$$P_{1} P_{2}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}} .$$
Directed line segments $\overrightarrow{A B}$ are introduced as three-dimensional column vectors: If $A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ and $B=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$, then
$$\overrightarrow{A B}=\left[\begin{array}{c} x_{2}-x_{1} \ y_{2}-y_{1} \ z_{2}-z_{1} \end{array}\right]$$
If $P$ is a point, we let $\mathbf{P}=\overrightarrow{O P}$ and call $\mathbf{P}$ the position vector of $P$.
With suitable definitions of lines, parallel lines, there are important geometrical interpretations of equality, addition and scalar multiplication of vectors.
(i) Equality of vectors: Suppose $A, B, C, D$ are distinct points such that no three are collinear. Then $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ if and only if $\overrightarrow{A B} | \overrightarrow{C D}$ and $\overrightarrow{A C} | \overrightarrow{B D}$

Figure 8.2: Scalar multiplication of vectors.
The dot product $X \cdot Y$ of vectors $X=\left[\begin{array}{l}a_{1} \ b_{1} \ c_{1}\end{array}\right]$ and $Y=\left[\begin{array}{c}a_{2} \ b_{2} \ c_{2}\end{array}\right]$, is defined by
$$X \cdot Y=a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}$$
The length $|X|$ of a vector $X$ is defined by
$$|X|=(X \cdot X)^{1 / 2}$$
and the Cauchy-Schwarz inequality holds:
$$|X \cdot Y| \leq|X| \cdot|Y|$$
The triangle inequality for vector length now follows as a simple deduction:
$$|X+Y| \leq|X|+|Y|$$
Using the equation
$$A B=|\overrightarrow{A B}|$$
we deduce the corresponding familiar triangle inequality for distance:
$$A B \leq A C+C B$$

(i) 向量相等：假设一种,乙,C,D是不同的点，因此没有三个点是共线的。然后一种乙→=CD→当且仅当一种乙→|CD→和一种C→|乙D→

X⋅和=一种1一种2+b1b2+C1C2

|X|=(X⋅X)1/2
Cauchy-Schwarz 不等式成立：
|X⋅和|≤|X|⋅|和|

|X+和|≤|X|+|和|

# 计量经济学代写

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Sketch the curves

my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在线性代数linear algebra作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的线性代数linear algebra代写服务。我们的专家在线性代数linear algebra代写方面经验极为丰富，各种线性代数linear algebra相关的作业也就用不着 说。

• 数值分析
• 高等线性代数
• 矩阵论
• 优化理论
• 线性规划
• 逼近论

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Sketch the hyperbola

1. Sketch the curves
(i) $x^{2}-8 x+8 y+8=0$;
(ii) $y^{2}-12 x+2 y+25=0$.
2. Sketch the hyperbola
$$4 x y-3 y^{2}=8$$
and find the equations of the asymptotes.
[Answer: $y=0$ and $y=\frac{4}{3} x$.]
3. Sketch the ellipse
$$8 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=36$$
and find the equations of the axes of symmetry.
[Answer: $y=2 x$ and $x=-2 y$.]
4. Sketch the conics defined by the following equations. Find the centre when the conic is an ellipse or hyperbola, asymptotes if an hyperbola, the vertex and axis of symmetry if a parabola:
(i) $4 x^{2}-9 y^{2}-24 x-36 y-36=0$;
(ii) $5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+4 \sqrt{5} x-16 \sqrt{5} y+4=0$;
(iii) $4 x^{2}+y^{2}-4 x y-10 y-19=0$;
(iv) $77 x^{2}+78 x y-27 y^{2}+70 x-30 y+29=0$.
[Answers: (i) hyperbola, centre $(3,-2)$, asymptotes $2 x-3 y-12=$ $0,2 x+3 y=0$;
(ii) ellipse, centre $(0, \sqrt{5})$;
(iii) parabola, vertex $\left(-\frac{7}{5},-\frac{9}{5}\right)$, axis of symmetry $2 x-y+1=0$;
(iv) hyperbola, centre $\left(-\frac{1}{10}, \frac{7}{10}\right)$, asymptotes $7 x+9 y+7=0$ and $11 x-3 y-1=0$.]

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Identify the lines determined

1. Identify the lines determined by the equations:
(i) $2 x^{2}+y^{2}+3 x y-5 x-4 y+3=0$;
CHAPTER 7. IDENTIFYING SECOND DEGREE EQUATIONS
(ii) $9 x^{2}+y^{2}-6 x y+6 x-2 y+1=0$;
(iii) $x^{2}+4 x y+4 y^{2}-x-2 y-2=0$.
[Answers: (i) $2 x+y-3=0$ and $x+y-1=0$; (ii) $3 x-y+1=0$; (iii) $x+2 y+1=0$ and $x+2 y-2=0$.]

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Sketch the hyperbola

1. 绘制曲线
(i)X2−8X+8和+8=0;
(二)和2−12X+2和+25=0.
2. 画出双曲线
4X和−3和2=8
并找到渐近线的方程。
[回答：和=0和和=43X.]
3. 画椭圆
8X2−4X和+5和2=36
并找到对称轴的方程。
[回答：和=2X和X=−2和.]
4. 画出由下列方程定义的圆锥曲线。当圆锥曲线是椭圆或双曲线时求中心，如果是双曲线，求渐近线，如果是抛物线，求顶点和对称轴：
(i)4X2−9和2−24X−36和−36=0;
(二)5X2−4X和+8和2+45X−165和+4=0;
㈢4X2+和2−4X和−10和−19=0;
(四)77X2+78X和−27和2+70X−30和+29=0.
[答案：(i) 双曲线，中心(3,−2), 渐近线2X−3和−12= 0,2X+3和=0;
(ii) 椭圆，中心(0,5);
(iii) 抛物线，顶点(−75,−95), 对称轴2X−和+1=0;
(iv) 双曲线，中心(−110,710), 渐近线7X+9和+7=0和11X−3和−1=0.]



## 线性代数作业代写linear algebra代考|Identify the lines determined

1. 确定由方程式确定的线：
（i）2X2+和2+3X和−5X−4和+3=0;
第 7 章识别二次方程
(ii)9X2+和2−6X和+6X−2和+1=0;
㈢X2+4X和+4和2−X−2和−2=0.
[答案：（一）2X+和−3=0和X+和−1=0; (二)3X−和+1=0; ㈢X+2和+1=0和X+2和−2=0.]

# 计量经济学代写

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

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A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

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C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions

## 美本或者加拿大本科，如果需要期末考试之前突击线性代数，怎样可以效率最大化？

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