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线性代数网课代修|数值线性代数代写Numerical linear algebra代考|MATH3204

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 数值分析
  • 高等线性代数
  • 矩阵论
  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|The LDL* Factorization

There are special versions of the LU factorization for Hermitian and positive definite matrices which takes advantage of the special properties of such matrices. The most important ones are

  1. the LDL* factorization which is an LDU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{*}$ and $\boldsymbol{D}$ a diagonal matrix with real diagonal elements
  2. the $\mathrm{LL} $ factorization which is an LU factorization with $\boldsymbol{U}=L^{}$ and $l_{i i}>0$ all $i$.

A matrix $\boldsymbol{A}$ having an $\mathrm{LDL}^{}$ factorization must be Hermitian since $\boldsymbol{D}$ is real so that $\boldsymbol{A}^{}=\left(\boldsymbol{L} \boldsymbol{D} \boldsymbol{L}^{}\right)^{}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{D}^{} \boldsymbol{L}^{}=\boldsymbol{A}$. The LL* factorization is called a Cholesky factorization .

Example $4.1$ (LDL* of $2 \times 2$ Hermitian Matrix) Let $a, d \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{C}$. An LDL* factorization of a $2 \times 2$ Hermitian matrix must satisfy the equations
$$
\left[\begin{array}{ll}
a & \bar{b} \
b & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \
l_{1} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & 0 \
0 & d_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & \overline{l_{1}} \
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & d_{1} \overline{l_{1}} \
d_{1} l_{1} & d_{1}\left|l_{1}\right|^{2}+d_{2}
\end{array}\right]
$$

for the unknowns $l_{1}$ in $L$ and $d_{1}, d_{2}$ in $\boldsymbol{D}$. They are determined from
$$
d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2} .
$$
There are essentially three cases

  1. $a \neq 0$ : The matrix has a unique $\mathrm{LDL}^{*}$ factorization. Note that $d_{1}$ and $d_{2}$ are real.
  2. $a=b=0$ : The LDL* factorization exists, but it is not unique. Any value for $l_{1}$ can be used.
  3. $a=0, b \neq 0:$ No LDL* factorization exists.
    Lemma $3.1$ carries over to the Hermitian case.

线性代数作业代写linear algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

Given $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$. The function $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \bar{x}{i} x{j}
$$ is called a quadratic form. Note that $f$ is real valued if $\boldsymbol{A}$ is Hermitian. Indeed, $\overline{f(\boldsymbol{x})}=\overline{\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}=\left(\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\right)^{}=\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A}^{} \boldsymbol{x}=f(\boldsymbol{x})$. Definition 4.1 (Positive Definite Matrix) We say that a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is (i) positive definite if $\boldsymbol{A}^{}=\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$; (ii) positive semidefinite if $A^{}=A$ and $x^{*} A x \geq 0$ for all $x \in \mathbb{C}^{n}$;
(iii) negative (semi)definite if $-A$ is positive (semi)definite.
We observe that

  1. The zero-matrix is positive semidefinite, while the unit matrix is positive definite.
  2. The matrix $A$ is positive definite if and only if it is positive semidefinite and $\boldsymbol{x}^{*} A \boldsymbol{x}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
  3. A positive definite matrix $\boldsymbol{A}$ is nonsingular. For if $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ then $\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ and this implies that $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
  4. It follows from Lemma $4.6$ that a nonsingular positive semidefinite matrix is positive definite.
  5. If $\boldsymbol{A}$ is real then it is enough to show definiteness for real vectors only. Indeed, if $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}-\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ then $z^{} \boldsymbol{A} z>0$ for all nonzero $z \in \mathbb{C}^{n}$. For if $z=\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y} \neq \mathbf{0}$ with $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}$ then $$ \begin{aligned} z^{} \boldsymbol{A z} &=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \
    &=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}
    \end{aligned}
    $$
    and this is positive since at least one of the real vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ is nonzero.
线性代数网课代修|数值线性代数代写Numerical linear algebra代考|MATH3204

线性代数作业代写linear algebra代考|The LDL* Factorization

Hermitian 和正定矩阵有特殊版本的 LU 分解,它利用了这些矩阵的特殊性质。最重要的是

  1. $\mathrm{LDL}^{}$ 分解,它是一个 $\mathrm{LDU}$ 分解 $U=L^{}$ 和 $D$ 具有实对角元素的对角矩阵
  2. 这LL因式分解,这是一个 LU 因式分解 $U=L$ 和 $l_{i i}>0$ 全部 $i$.
    矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有一个LDL因式分解必须是 Hermitian,因为 $\boldsymbol{D}$ 是真实的
    $\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{L D L})=\boldsymbol{L} \boldsymbol{D L}=\boldsymbol{A}$. LL* 分解称为 Cholesky 分解。
    例子4.1 (低密度脂蛋白* $2 \times 2$ Hermitian 矩阵) 让 $a, d \in \mathbb{R}$ 和 $b \in \mathbb{C}$. a 的 LDL* 因式分解 $2 \times 2$ Hermitian 矩阵必须满足方程
    对于末知数 $l_{1}$ 在 $L$ 和 $d_{1}, d_{2}$ 在 $\boldsymbol{D}$. 它们由
    $$
    d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2} .
    $$
    基本上有二种情况
  3. $a \neq 0:$ 矩阵具有唯一性 $\mathrm{LDL}^{*}$ 因式分解。注意 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 是真实的。
  4. $a=b=0$ :存在 LDL* 分解,但它不是唯一的。任何价值 $l_{1}$ 可以使用。
  5. $a=0, b \neq 0$ : 不存在 $\mathrm{LDL}^{*}$ 分解。
    引理 $3.1$ 延续到厄米特案。

线性代数作业代写linear algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

给定 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$. 功能 $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 由
$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \bar{x} i x j $$ 称为二次型。注意 $f$ 是真正的价值,如果 $\boldsymbol{A}$ 是厄米特。的确, $\overline{f(\boldsymbol{x})}=\overline{\boldsymbol{x} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}=(\boldsymbol{x} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=f(\boldsymbol{x})$. 定义 $4.1$ (正定矩阵) 我们说一个矩阵 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 (i) 正定如果 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{x} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ 对于所有非零 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$; (ii) 半正定如果 $A=A$ 和 $x^{} A x \geq 0$ 对所有人 $x \in \mathbb{C}^{n}$;
(iii) 否定 (半) 定如果 $-A$ 是正 (半) 定的。
我们观察到

  1. 零矩阵是半正定的,而单位矩阵是正定的。
  2. 矩阵 $A$ 是正定的当且仅当它是半正定的并且 $\boldsymbol{x}^{*} A \boldsymbol{x}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
  3. 一个正定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是非奇异的。如果 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 然后 $\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A x}=0$ 这意味着 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
  4. 它遵循引理4.6非奇异半正定矩阵是正定矩阵。
  5. 如果 $\boldsymbol{A}$ 是真实的,那么仅显示实向量的确定性就足够了。确实,如果
    $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}-\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ 对于所有非零 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 然后 $z \boldsymbol{A} z>0$ 对于所有非零
    $z \in \mathbb{C}^{n}$. 如果 $z=\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y} \neq \mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}$ 然后
    $$
    z \boldsymbol{A} \boldsymbol{z}=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \quad=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}
    $$
    这是肯定的,因为至少有一个实向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 是非零的。
线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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计量经济学是利用统计方法检验经济学理论的一种方法,它既不属于统计的范畴也不属于经济的范畴更像是一种经验科学。大家有专业的问题可以在my-assignmentexpert™ 这里答疑,多读一读,相关的基础性的东西,做一些统计和经济的基础知识的积累对于学习计量经济学这一门课程都是有很大帮助的。

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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