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## 线性代数作业代写linear algebra代考|The LDL* Factorization

There are special versions of the LU factorization for Hermitian and positive definite matrices which takes advantage of the special properties of such matrices. The most important ones are

1. the LDL* factorization which is an LDU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{*}$ and $\boldsymbol{D}$ a diagonal matrix with real diagonal elements
2. the $\mathrm{LL}$ factorization which is an LU factorization with $\boldsymbol{U}=L^{}$ and $l_{i i}>0$ all $i$.

A matrix $\boldsymbol{A}$ having an $\mathrm{LDL}^{}$ factorization must be Hermitian since $\boldsymbol{D}$ is real so that $\boldsymbol{A}^{}=\left(\boldsymbol{L} \boldsymbol{D} \boldsymbol{L}^{}\right)^{}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{D}^{} \boldsymbol{L}^{}=\boldsymbol{A}$. The LL* factorization is called a Cholesky factorization .

Example $4.1$ (LDL* of $2 \times 2$ Hermitian Matrix) Let $a, d \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathbb{C}$. An LDL* factorization of a $2 \times 2$ Hermitian matrix must satisfy the equations $$\left[\begin{array}{ll} a & \bar{b} \ b & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \ l_{1} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} d_{1} & 0 \ 0 & d_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & \overline{l_{1}} \ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} d_{1} & d_{1} \overline{l_{1}} \ d_{1} l_{1} & d_{1}\left|l_{1}\right|^{2}+d_{2} \end{array}\right]$$

for the unknowns $l_{1}$ in $L$ and $d_{1}, d_{2}$ in $\boldsymbol{D}$. They are determined from $$d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2} .$$ There are essentially three cases

1. $a \neq 0$ : The matrix has a unique $\mathrm{LDL}^{*}$ factorization. Note that $d_{1}$ and $d_{2}$ are real.
2. $a=b=0$ : The LDL* factorization exists, but it is not unique. Any value for $l_{1}$ can be used.
3. $a=0, b \neq 0:$ No LDL* factorization exists. Lemma $3.1$ carries over to the Hermitian case.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

Given $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$. The function $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ given by $$f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \bar{x}{i} x{j}$$ is called a quadratic form. Note that $f$ is real valued if $\boldsymbol{A}$ is Hermitian. Indeed, $\overline{f(\boldsymbol{x})}=\overline{\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}=\left(\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\right)^{}=\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A}^{} \boldsymbol{x}=f(\boldsymbol{x})$. Definition 4.1 (Positive Definite Matrix) We say that a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is (i) positive definite if $\boldsymbol{A}^{}=\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$; (ii) positive semidefinite if $A^{}=A$ and $x^{*} A x \geq 0$ for all $x \in \mathbb{C}^{n}$; (iii) negative (semi)definite if $-A$ is positive (semi)definite. We observe that

1. The zero-matrix is positive semidefinite, while the unit matrix is positive definite.
2. The matrix $A$ is positive definite if and only if it is positive semidefinite and $\boldsymbol{x}^{*} A \boldsymbol{x}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
3. A positive definite matrix $\boldsymbol{A}$ is nonsingular. For if $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ then $\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ and this implies that $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
4. It follows from Lemma $4.6$ that a nonsingular positive semidefinite matrix is positive definite.
5. If $\boldsymbol{A}$ is real then it is enough to show definiteness for real vectors only. Indeed, if $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}-\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ then $z^{} \boldsymbol{A} z>0$ for all nonzero $z \in \mathbb{C}^{n}$. For if $z=\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y} \neq \mathbf{0}$ with $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}$ then \begin{aligned} z^{} \boldsymbol{A z} &=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \ &=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \end{aligned} and this is positive since at least one of the real vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ is nonzero.

## 线性代数作业代写linear algebra代考|The LDL* Factorization

Hermitian 和正定矩阵有特殊版本的 LU 分解，它利用了这些矩阵的特殊性质。最重要的是

1. $\mathrm{LDL}^{}$ 分解，它是一个 $\mathrm{LDU}$ 分解 $U=L^{}$ 和 $D$ 具有实对角元素的对角矩阵
2. 这LL因式分解，这是一个 LU 因式分解 $U=L$ 和 $l_{i i}>0$ 全部 $i$. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有一个LDL因式分解必须是 Hermitian，因为 $\boldsymbol{D}$ 是真实的 $\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{L D L})=\boldsymbol{L} \boldsymbol{D L}=\boldsymbol{A}$. LL* 分解称为 Cholesky 分解。 例子4.1 (低密度脂蛋白* $2 \times 2$ Hermitian 矩阵) 让 $a, d \in \mathbb{R}$ 和 $b \in \mathbb{C}$. a 的 LDL* 因式分解 $2 \times 2$ Hermitian 矩阵必须满足方程 对于末知数 $l_{1}$ 在 $L$ 和 $d_{1}, d_{2}$ 在 $\boldsymbol{D}$. 它们由 $$d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2} .$$ 基本上有二种情况
3. $a \neq 0:$ 矩阵具有唯一性 $\mathrm{LDL}^{*}$ 因式分解。注意 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 是真实的。
4. $a=b=0$ ：存在 LDL* 分解，但它不是唯一的。任何价值 $l_{1}$ 可以使用。
5. $a=0, b \neq 0$ : 不存在 $\mathrm{LDL}^{*}$ 分解。 引理 $3.1$ 延续到厄米特案。

## 线性代数作业代写linear algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

1. 零矩阵是半正定的，而单位矩阵是正定的。
2. 矩阵 $A$ 是正定的当且仅当它是半正定的并且 $\boldsymbol{x}^{*} A \boldsymbol{x}=0 \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
3. 一个正定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是非奇异的。如果 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 然后 $\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A x}=0$ 这意味着 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
4. 它遵循引理4.6非奇异半正定矩阵是正定矩阵。
5. 如果 $\boldsymbol{A}$ 是真实的，那么仅显示实向量的确定性就足够了。确实，如果 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}-\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ 对于所有非零 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 然后 $z \boldsymbol{A} z>0$ 对于所有非零 $z \in \mathbb{C}^{n}$. 如果 $z=\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y} \neq \mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n}$ 然后 $$z \boldsymbol{A} \boldsymbol{z}=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \quad=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}$$ 这是肯定的，因为至少有一个实向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 是非零的。

## 在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点

1.2 take note

1.3 understand the relation between definitions