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线性代数网课代修|数值线性代数代写Numerical linear algebra代考|MATH307

线性代数网课代修|数值线性代数代写Numerical linear algebra代考|MATH307

如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

linearalgebra.me 为您的留学生涯保驾护航 在线性代数linear algebra作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的线性代数linear algebra代写服务。我们的专家在线性代数linear algebra代写方面经验极为丰富,各种线性代数linear algebra相关的作业也就用不着 说。

我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 数值分析
  • 高等线性代数
  • 矩阵论
  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Basic Properties

A linear system has a unique solution, infinitely many solutions, or no solution. To discuss this we first consider the real case, and a homogeneous underdetermined system.

Lemma 1.3 (Underdetermined System) Suppose $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ with $m<n$. Then there is a nonzero $x \in \mathbb{R}^{n}$ such that $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$.

Proof Suppose $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ with $m<n$. The $n$ columns of $\boldsymbol{A}$ span a subspace of $\mathbb{R}^{m}$. Since $\mathbb{R}^{m}$ has dimension $m$ the dimension of this subspace is at most $m$. By Lemma $1.1$ the columns of $\boldsymbol{A}$ must be linearly dependent. It follows that there is a nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
A square matrix is either nonsingular or singular.
Definition 1.7 (Real Nonsingular or Singular Matrix) A square matrix $A \in$ $\mathbb{R}^{n \times n}$ is said to be nonsingular if the only real solution of the homogeneous system $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ is $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. The matrix is singular if there is a nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ such that $A \boldsymbol{x}=0$.

Theorem 1.6 (Linear Systems; Existence and Uniqueness) Suppose $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. The linear system $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ has a unique solution $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ for any $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n}$ if and only if the matrix $\boldsymbol{A}$ is nonsingular.

Proof Suppose $\boldsymbol{A}$ is nonsingular. We define $\boldsymbol{B}=[\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}] \in \mathbb{R}^{n \times(n+1)}$ by adding a column to $\boldsymbol{A}$. By Lemma $1.3$ there is a nonzero $z \in \mathbb{R}^{n+1}$ such that $\boldsymbol{B} z=\mathbf{0}$. If we write $z=\left[\begin{array}{c}\tilde{z} \ z_{n+1}\end{array}\right]$ where $\tilde{z}=\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n}$ and $z_{n+1} \in \mathbb{R}$, then
$$
\boldsymbol{B} z=[\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}]\left[\begin{array}{c}
\tilde{z} \
z_{n+1}
\end{array}\right]=\boldsymbol{A} \tilde{z}+z_{n+1} \boldsymbol{b}=\mathbf{0} .
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|The Inverse Matrix

Suppose $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a square matrix. A matrix $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is called a right inverse of $\boldsymbol{A}$ if $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{I}$. A matrix $\boldsymbol{C} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is said to be a left inverse of $\boldsymbol{A}$ if $\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}$. We say that $\boldsymbol{A}$ is invertible if it has both a left- and a right inverse. If $\boldsymbol{A}$ has a right inverse $B$ and a left inverse $\boldsymbol{C}$ then
$$
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C I}=\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A B})=(\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}
$$
and this common inverse is called the inverse of $A$ and denoted by $A^{-1}$. Thus the inverse satisfies $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}$.

We want to characterize the class of invertible matrices and start with a lemma.
Theorem $1.8$ (Product of Nonsingular Matrices) If $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ with $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=$ $\boldsymbol{C}$ then $\boldsymbol{C}$ is nonsingular if and only if both $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are nonsingular. In particular, if either $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I}$ or $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ then $\boldsymbol{A}$ is nonsingular and $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$.

Proof Suppose both $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are nonsingular and let $\boldsymbol{C} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Then $\boldsymbol{A B}=\mathbf{0}$ and since $\boldsymbol{A}$ is nonsingular we see that $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Since $\boldsymbol{B}$ is nonsingular we have $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. We conclude that $\boldsymbol{C}$ is nonsingular.

线性代数网课代修|数值线性代数代写Numerical linear algebra代考|MATH307

线性代数作业代写linear algebra代考|Basic Properties

线性系统有唯一解、无限多解或没有解。为了讨论这个问题,我们首先考虑真实的情况,以 及一个齐次的欠定系统。
引理 $1.3$ (欠定系统) 假设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $m<n$. 然后有一个非零 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 这样 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
证明假设 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $m<n$. 这 $n$ 列 $\boldsymbol{A}$ 跨越一个子空间 $\mathbb{R}^{m}$. 自从 $\mathbb{R}^{m}$ 有维度 $m$ 这个子空间 的维数最多为 $m$. 引理1.1的列 $\boldsymbol{A}$ 必须是线性相关的。由此得出有一个非零 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 这样 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$.
方阵要么是非奇异的,要么是奇异的。
定义 $1.7$ (Real Nonsingular or Singular Matrix) 方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 如果齐次系统的唯一真正
解,则称其为非奇异的 $\boldsymbol{A x}=0$ 是 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. 如果存在非零矩阵,则该矩阵是奇异的 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 这 样 $A \boldsymbol{x}=0$.
定理 $1.6$ (线性系统; 存在性和唯一性) 假设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. 线性系统 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有独特的解决方
案 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 对于任何 $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{n}$ 当且仅当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是非奇异的。
证明假设 $\boldsymbol{A}$ 是非奇异的。我们定义 $\boldsymbol{B}=[\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}] \in \mathbb{R}^{n \times(n+1)}$ 通过添加一列 $\boldsymbol{A}$. 引理1.3有一个 非零 $z \in \mathbb{R}^{n+1}$ 这样 $\boldsymbol{B} z=\mathbf{0}$. 如果我们写 $z=\left[\tilde{z} z_{n+1}\right]$ 在哪里 $\tilde{z}=\left[z_{1}, \ldots, z_{n}\right]^{T} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $z_{n+1} \in \mathbb{R}$ ,然后
$$
\boldsymbol{B} z=[\boldsymbol{A} \boldsymbol{b}]\left[\tilde{z} z_{n+1}\right]=\boldsymbol{A} \tilde{z}+z_{n+1} \boldsymbol{b}=\mathbf{0} .
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|The Inverse Matrix

认为 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是一个方阵。一个矩阵 $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 被称为右逆 $\boldsymbol{A}$ 如果 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{I}$. 一个矩阵 $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 据说是左逆 $\boldsymbol{A}$ 如果 $\boldsymbol{C A}$. 我们说 $\boldsymbol{A}$ 如果它同时具有左逆和右逆,则它是可逆的。 如果 $\boldsymbol{A}$ 有一个右逆 $B$ 和一个左逆 $C$ 然后
$$
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C I}=\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A B})=(\boldsymbol{C A}) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{I} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}
$$
这个共同的逆被称为的逆 $A$ 并表示为 $A^{-1}$. 因此逆满足 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{I}$.
我们想要表征可逆矩阵的类别并从引理开始。
定理1.8 (非奇异矩阵的乘积) 如果 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 和 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 然后 $C$ 当且仅当两者都是 非奇异的 $A$ 和 $B$ 是非奇异的。特别是,如果 $A B=I$ 或者 $B A=I$ 然后 $A$ 是非奇异的并且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$
证明假设两者 $A$ 和 $B$ 是非奇异的并且让 $C x=0$. 然后 $A B=0$ 并且因为 $A$ 是非奇异的,我 们看到 $B x=0$. 自从 $B$ 我们有非奇异的 $x=0$. 我们得出结论 $C$ 是非奇异的。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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