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线性代数网课代修|凸分析代写Convex analysis代考|MAC0084

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|The Three Golden Convex Cones

The most celebrated basic examples of convex sets are the following three ‘golden’ convex cones.

  • The first orthant $\mathbb{R}_{+}^{n}$, is the set of points in $\mathbb{R}^{n}$ with nonnegative coordinates.
  • The Lorentz cone $L^{n}$, also called the ice cream cone, is the epigraph of the Euclidean norm on $\mathbb{R}^{n}$, that is, the region in $\mathbb{R}^{n+1}$ above or on the graph of the Euclidean norm,
    $$
    \left{(x, y) \mid x \in \mathbb{R}^{n}, y \in \mathbb{R}, \quad y \geq\left(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right} .
    $$
  • The positive semidefinite cone $\mathbb{S}_{+}^{n}$, is the set of positive semi-definite $n \times n$ matrices in the vector space of symmetric $n \times n$-matrices $\mathbb{S}^{n}$ (a symmetric $n \times n$ matrix $M$ is called positive semidefinite if $x^{\top} M x \geq 0$ for all $x \in \mathbb{R}^{n}$ ).

Note that in the third example we do not work in $\mathbb{R}^{n}$, but in the space $\mathbb{S}^{n}$ of symmetric $n \times n$-matrices. This can be justified by identifying this space with $\mathbb{R}^{m}$ where $m=\frac{1}{2} n(n+1)$ by stacking symmetric matrices, that is, by taking the entries on or above the main diagonal of a symmetric matrix and then writing them as one long column vector, taking the columns of the matrix from left to right and writing these entries for each column from top to bottom.

The convex cone $\mathbb{S}_{+}^{n}$ models in terms of linear algebra (and so relatively simply) a solution set of a system of nonlinear inequalities (that is, a complicated set).

Example 1.7.1 (Positive Semi-definite Cone) If we identify a symmetric $2 \times 2$ matrix $B$ with the vector in $\mathbb{R}^{3}$ with coordinates $b_{11}, b_{22}, b_{12}$ respectively, then the convex cone $\mathbb{S}{+}^{2}$ gets identified with the convex set $x{1} x_{2}-x_{3}^{2} \geq 0, x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Convex Hull and Conic Hull

Here is a source of many basic examples of convex sets.
Definition 1.7.2 To each set $S \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$, one can add points from $X$ in a minimal way in order to make a convex set $\operatorname{co}(S) \subseteq X$, the convex hull of $S$. That is, $\operatorname{co}(S)$ is the smallest convex set containing $S$. It is the intersection of all convex sets containing $S$.
Example 1.7.3 Figure $1.15$ illustrates the concept of convex hull.
From left to right: the first two sets are already convex, so they are equal to their convex hull; for the other convex sets, taking their convex hull means respectively filling a dent, filling a hole, and making from a set consisting of two pieces a set consisting of one piece, without dents.
Here is a similar source of examples of convex cones.
Definition 1.7.4 To each set $S \subseteq X$, one can adjoin to $S \cup\left{0_{X}\right}$ points from $X$ in a minimal way in order to make a convex cone cone( $S)$, the conic hull of $S$. That is, cone $(S)$ is the smallest convex cone containing $S$ and the origin. It is the intersection of all convex cones containing $S$ and the origin.
Example 1.7.5 (Conic Hull)

  1. Figure $1.16$ illustrates the concept of conic hull.
    This picture makes clear that a lot of structure can get lost if we pass from a set to its conic hull.
  2. The conification of a convex set $A \subset \mathbb{R}^{n}$ is essentially the conic hull of $A \times{1}$ :
    $$
    c(A)=\operatorname{cone}(A \times{1}) \backslash\left{0_{X \times \mathbb{R}}\right}
    $$
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线性代数作业代写linear algebra代考|The Three Golden Convex Cones

凸集最著名的基本示例是以下三个“黄金”凸雉。

  • 第一颗 $\mathbb{R}_{+}^{n}$, 是点的集合 $\mathbb{R}^{n}$ 具有非负坐标。
  • 洛伦兹锥 $L^{n}$, 也称为冰淇淋蛋筒,是欧几里得范数的题词 $\mathbb{R}^{n}$, 即区域在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 在欧几里 得范数之上或之上,
    left $\left{(x, y) \backslash \operatorname{mid} x \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbb ${R} \wedge{n}, y \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${R}, \backslash$ quad $y \backslash$ geq $\backslash$ left $\left(x_{-}{1} \wedge{2}+\backslash\right.$ cdots $+x_{-}{n} \wedge$
  • 正半定锥 $\mathbb{S}{+}^{n}$, 是正半定的集合 $n \times n$ 对称向量空间中的矩阵 $n \times n$-矩阵 $\mathbb{S}^{n}$ (一个对称 的 $n \times n$ 矩阵 $M$ 称为半正定如果 $x^{\top} M x \geq 0$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}^{n}$ ). 请注意,在第三个示例中,我们不使用 $\mathbb{R}^{n}$, 但在空间 $\mathbb{S}^{n}$ 对称的 $n \times n$-矩阵。这可以通过识 别这个空间来证明 $\mathbb{R}^{m}$ 在哪里 $m=\frac{1}{2} n(n+1)$ 通过堆㿿对称矩阵,即,取对称矩阵主对角 线之上或之上的元素,然后将它们写为一个长列向量,从左到右取矩阵的列,并为每一列写 下这些元素从上到下。 凸雉 $\mathbb{S}{+}^{n}$ 根据线性代数(因此相对简单)建模非线性不等式系统的解集(即复杂集)。
    示例 1.7.1 (正半定雉) 如果我们确定一个对称 $2 \times 2$ 矩阵 $B$ 向量在 $\mathbb{R}^{3}$ 带坐标 $b_{11}, b_{22}, b_{12}$ 分 别是凸锥 $S+{ }^{2}$ 被识别为凸集 $x 1 x_{2}-x_{3}^{2} \geq 0, x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Convex Hull and Conic Hull

这是凸集的许多基本示例的来源。
定义 1.7.2 对每组 $S \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$, 可以从 $X$ 以最小的方式制作凸集 $\operatorname{co}(S) \subseteq X$, 的凸包 $S$. 那 是, $\operatorname{co}(S)$ 是包含的最小凸集 $S$. 它是所有包含的凸集的交集 $S$.
示例 $1.7 .3$ 图1.15说明了凸包的概念。
从左到右: 前两组已经是凸的,所以等于它们的凸包; 对于其他凸集,取其凸包分别是指填 一个凹坑,填一个洞,由两片组成的一组组成一个由一个片组成的没有凹痕的集合。
这是凸锥示例的类似来源。
定义 1.7.4 对每组 $S \subseteq X$, 可以邻接[S|cuplleft{0_{X}|right $}$ 从点 $X$ 以最小的方式制作凸雉(
$S)$, 的圆雉壳 $S$. 也就是锥 $(S)$ 是包含的最小凸锥 $S$ 和起源。它是所有凸锥的交集,包含 $S$ 和起 源。
示例 1.7.5 (圆雉壳)

  1. 数字1.16说明了圆雉壳的概念。
    这张照片清楚地表明,如果我们从一个集合传递到它的圆雉形外壳,很多结构可能会
    丢失。
  2. 凸集的conification $A \subset \mathbb{R}^{n}$ 本质上是圆锥壳 $A \times 1:$
线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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