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线性代数网课代修|凸分析代写Convex analysis代考|ESE605

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Primal Description of the Convex Hull

The convex hull can be described explicitly as follows. We need a definition.
Definition 1.7.6 A convex combination or weighted average of a finite set $S=$ $\left{s_{1}, \ldots, s_{k}\right} \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$ is a nonnegative linear combination of the elements of $S$ with sum of the coordinates equal to 1 ,
$$
\rho_{1} s_{1}+\cdots+\rho_{k} s_{k}
$$
with $\rho_{i} \in \mathbb{R}{+}, 1 \leq i \leq k$ and $\rho{1}+\cdots+\rho_{k}=1$.
Example 1.7.7 (Convex Combination) Let $a, b, c$ be three points in $\mathbb{R}^{2}$ that do not lie on one line. Then the set of convex combinations of $a, b, c$ is the triangle with vertices $a, b, c$.

Proposition 1.7.8 The convex hull of a set $S \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$ consists of the convex combinations of finite subsets of $S$.

In particular, a convex set is closed under taking convex combinations of a finite set of points.

This could be called a primal description – or a description from the inside-of a convex set. Each choice of a finite subset of the convex set gives an approximation from the inside: the set of all convex combinations of this subset. Figure $1.17$ illustrates the primal description of a convex set.

Proposition $1.7 .8$ will be proved by the homogenization method. This is the first of many proofs of results for convex sets that will be given in this way. Therefore, we make here explicit how all these proofs will be organized.

  1. We begin by stating a version of the result for convex cones, that is, for homogeneous convex sets. This version is obtained by conification (or homogenization) of the original statement, which is for convex sets. For brevity we only display the outcome, which is a statement for convex cones. So we do not display how we got this statement for convex cones from the original statement for convex sets.
  2. Then we prove this convex cone version, working with convex cones.
  3. Finally, we translate back by deconification (or dehomogenization).

线性代数作业代写linear algebra代考|Definition of Three Operations

The first operation is the Cartesian product. If we have two convex sets $A \subseteq Y=$ $\mathbb{R}^{m}, B \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$, then their Cartesian product is the set
$$
A \times B={(a, b) \mid a \in A, b \in B}
$$
in $Y \times X=\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{m+n}$. This is a convex set.

The second operation is the image of a convex set under a linear function. Let $M$ be an $m \times n$-matrix. This matrix determines a linear function $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ by the recipe $x \mapsto M x$. For each convex set $A \subseteq \mathbb{R}^{n}$, its image under $M$ is the set
$$
M A={M a \mid a \in A}
$$
in $\mathbb{R}^{m}$. This is a convex set.
Example 1.8.1 (Image Convex Set Under Linear Function) Let $M$ be a $2 \times 2$-matrix, neither of whose two columns is a scalar multiple of the other column.

  1. Let $A$ be a rectangle in the plane $\mathbb{R}^{2}$ whose sides are parallel to the two coordinate axes, $a \leq x<b, c \leq y<d$ for constants $a<b, c<d$. Then $M A$ is the parallelogram with vertices $M\left[\begin{array}{l}a \ c\end{array}\right], M\left[\begin{array}{l}b \ c\end{array}\right], M\left[\begin{array}{l}a \ d\end{array}\right], M\left[\begin{array}{l}b \ d\end{array}\right]$.
  2. An arbitrary convex set $A \subseteq \mathbb{R}^{2}$ can be approximated by the disjoint union of many small rectangles, and then by the result above one gets an approximation of $M A$ as a disjoint union of parallelograms.

The third operation is the inverse image of a convex set under a linear function. Let $M$ be as above. For each convex set $B \subseteq \mathbb{R}^{m}$, its inverse image under $M$ is the set
$$
B M=\left{a \in \mathbb{R}^{n} \mid M a \in B\right}
$$
in $\mathbb{R}^{n}$. This is a convex set.
These three operations also preserve the convex cone property.

线性代数网课代修|凸分析代写Convex analysis代考|ESE605

线性代数作业代写linear algebra代考|Primal Description of the Convex Hull

凸包可以明确描述如下。我们需要一个定义。
定义 1.7.6 有限集的凸组合或加权平均 $S=$ 于 1 ,
$$
\rho_{1} s_{1}+\cdots+\rho_{k} s_{k}
$$
和 $\rho_{i} \in \mathbb{R}+, 1 \leq i \leq k$ 和 $\rho 1+\cdots+\rho_{k}=1$.
示例 1.7.7 (凸组合) 让 $a, b, c$ 三分之内 $\mathbb{R}^{2}$ 不在一条线上。那么凸组合的集合 $a, b, c$ 是有顶点 的三角形 $a, b, c$.
命题 1.7.8 集合的凸包 $S \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$ 由有限子集的凸组合组成 $S$.
特别地,凸集在有限点集的凸组合下是封闭的。
这可以称为原始描述一一或来自凸集内部的描述。凸集的有限子集的每次选择都会从内部给 出一个近似值:该子集的所有凸组合的集合。数字 $1.17$ 说明了凸集的原始描述。
主张1.7.8用同质化方法证明。这是将以这种方式给出的许多凸集结果证明中的第一个。因 此,我们在这里明确说明所有这些证明将如何组织。

  1. 我们首先说明凸雉的结果的一个版本,即齐次凸集。这个版本是通过对凸集的原始陈 述的conification (或同质化) 获得的。为简洁起见,我们只显示结果,这是对凸锥的 陈述。所以我们没有展示我们是如何从凸集的原始陈述中得到这个关于凸锥的陈述 的。
  2. 然后我们证明这个凸雉版本,使用凸雉。
  3. 最后,我们通过去雉化 (或去均质化) 翻译回来。

线性代数作业代写linear algebra代考|Definition of Three Operations

第一个操作是笛卡尔积。如果我们有两个凸集 $A \subseteq Y=\mathbb{R}^{m}, B \subseteq X=\mathbb{R}^{n}$, 那么他们的笛 卡尔积就是集合
$$
A \times B=(a, b) \mid a \in A, b \in B
$$
在 $Y \times X=\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{m+n}$. 这是一个凸集。
第二个操作是线性函数下的凸集的图像。让 $M$ 豆 $m \times n$-矩阵。该矩阵确定一个线性函数 $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 按食谱 $x \mapsto M x$. 对于每个凸集 $A \subseteq \mathbb{R}^{n}$, 它的图像在 $M$ 是集合
$$
M A=M a \mid a \in A
$$
在 $\mathbb{R}^{m}$. 这是一个凸集。
示例 $1.8 .1$ (线性函数下的图像凸集) 让 $M$ 做一个 $2 \times 2$-matrix,其两列都不是另一列的标 量倍数。

  1. 让 $A$ 是平面中的一个矩形 $\mathbb{R}^{2}$ 其边平行于两个坐标轴, $a \leq x<b, c \leq y<d$ 对于常数 $a<b, c<d$. 然后 $M A$ 是有顶点的平行四边形 $M[a c], M[b c], M[a d], M[b d]$.
  2. 任意凸集 $A \subseteq \mathbb{R}^{2}$ 可以由许多小矩形的不相交并集来近似,然后由上面的结果得到一个 近似值 $M A$ 作为平行四边形的不相交并集。
    第三个操作是凸集在线性函数下的逆像。让 $M$ 如上。对于每个凸集 $B \subseteq \mathbb{R}^{m}$ ,它的逆像下 $M$ 是集合
    B $M=\backslash$ left ${a \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${R} \wedge{n} \backslash$ mid $M a \backslash$ in B\right } }
    在 $\mathbb{R}^{n}$. 这是一个凸集。
    这三个操作还保留了凸锥属性。
线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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