如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支，涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究，也涉及所有向量空间的一般属性。
线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域，因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model，并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system，它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。
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线性代数作业代写linear algebra代考|Reflections in the Plane
Another important type of motion is a reflection. Such a motion can be defined in several ways. After giving our definition we shall discuss some of these other characterizations.
Definition. Let $\mathbf{L}$ be a line in the plane. Define a map $\mathbf{S}: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}$, called the reflection about the line $\boldsymbol{L}$, as follows: Choose a point $\mathbf{A}$ on $\mathbf{L}$ and a unit normal vector $\mathbf{N}$ for $\mathbf{L}$. If $\mathbf{P}$ is any point in $\mathbf{R}^{2}$, then
$$
\mathrm{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P}+2(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N} .
$$
The line $\mathbf{L}$ is called the axis for the reflection $\mathrm{S}$.
The reader will find Figure $2.4$ helpful as we discuss the geometry behind reflections. First, note that $\mathbf{W}=(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N}$ is just the orthogonal projection of the vector $\mathbf{P A}$ onto $\mathbf{N}$. Define a point $\mathbf{Q}$ by the equation
$$
\mathbf{P Q}=\mathbf{W}=(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N} .
$$
Intuitively, it should be clear that $\mathbf{Q}$ is the point on $\mathbf{L}$ as shown in Figure 2.4. This does not follow from the definition however and must be proved. The following string of equalities:
$$
\mathbf{A Q} \cdot \mathbf{N}=(\mathbf{P Q}+\mathbf{A P}) \cdot \mathbf{N}=[(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N}+\mathbf{A P}] \cdot \mathbf{N}=\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}+\mathbf{A P} \cdot \mathbf{N}=0
$$
shows that $\mathbf{Q}$ satisfies the point-normal form of the equation $\mathbf{A X} \cdot \mathbf{N}=0$ for the points $\mathbf{X}$ on the line (or hyperplane) $\mathbf{L}$, so that $\mathbf{Q}$ does indeed lie on $\mathbf{L}$. Furthermore, it is easy to check that $\mathbf{A Q}$ is the orthogonal projection of $\mathbf{A P}$ on $\mathbf{L}$. This means that, if $\mathbf{V}$ is a unit direction vector for $\mathbf{L}$, then $\mathbf{A Q}=(\mathbf{A P} \bullet \mathbf{V}) \mathbf{V}$ and we could have defined the reflection $\mathrm{S}$ by
$$
\mathrm{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}+2(\mathbf{P A}+\mathbf{A Q})
$$
线性代数作业代写linear algebra代考|Motions Preserve the Dot Product
Proof. We shall show that $\mathrm{M}$ is a linear transformation in two steps.
Claim 1. $\mathrm{M}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathrm{M}(\mathbf{u})+\mathrm{M}(\mathbf{v})$.
Define a vector $\mathbf{w}$ by the equation
$$
\mathbf{u}+\mathbf{v}=2 \mathbf{w}
$$
This equation can be rewritten as
$$
\mathbf{w}=\mathbf{u}+\frac{1}{2}(\mathbf{v}-\mathbf{u})
$$
See Figure 2.6. Since $M(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ (which implies that $|\mathrm{M}(\mathbf{p})|=|\mathbf{p}|$ for any vector $\mathbf{p}$ ), we can use equation (2.15) and Lemma 2.2.2 to conclude that
$$
M(\mathbf{u}+\mathbf{v})=2 \mathrm{M}(\mathbf{w}) .
$$
Similarly, equation (2.16) and Lemma 2.2.2 implies that
$$
\mathrm{M}(\mathbf{w})=\mathrm{M}(\mathbf{u})+\frac{1}{2}(\mathbf{M}(\mathbf{v})-\mathrm{M}(\mathbf{u}))
$$
Substituting the expression for $\mathbf{M}(\mathbf{w})$ in equation (2.18) into equation (2.17) and simplifying the result proves Claim $1 .$
Claim 2. $\mathrm{M}(\mathrm{cv})=\mathrm{cM}(\mathbf{v})$, for any real number $\mathrm{c}$.
This follows from Lemma 2.2.2 (let $\mathbf{A}=\mathbf{0}, \mathbf{B}=\mathbf{v}$, and $\mathrm{t}=\mathrm{c}$ in that Lemma). Theorem $2.2 .4 .1$ is proved.
线性代数作业代写linear algebra代考|Reflections in the Plane
另一种重要的运动类型是反射。这种运动可以用多种方式定义。在给出我们的定义之后，我 们将讨论其中的一些其他特征。
定义。让L成为平面上的一条线。定义地图 $\mathbf{S}: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}$ ，称为关于线的反射 $\boldsymbol{L}$ ，如下: 选择一个点 $\mathbf{A}$ 上 $\mathbf{L}$ 和一个单位法向量 $\mathbf{N}$ 为了L. 如果 $\mathbf{P}$ 是任何一点 $\mathbf{R}^{2}$ ， 然后
$$
\mathrm{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P}+2(\mathbf{P} \mathbf{A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N} .
$$
线 $L$ 称为反射轴 $S$.
读者会发现图2.4在我们讨论反射背后的几何形状时很有帮助。首先，请注意 $\mathbf{W}=(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N}$ 只是向量的正交投影 $\mathbf{P A}$ 到 $\mathbf{N}$. 定义一个点 $\mathbf{Q}$ 由等式
$$
\mathbf{P Q}=\mathbf{W}=(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N} \text {. }
$$
直觉上，应该清楚的是Q重点是L如图 $2.4$ 所示。然而，这不是从定义中得出的，必须证 明。以下等式串:
$$
\mathbf{A Q} \cdot \mathbf{N}=(\mathbf{P Q}+\mathbf{A P}) \cdot \mathbf{N}=[(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}) \mathbf{N}+\mathbf{A P}] \cdot \mathbf{N}=\mathbf{P A} \cdot \mathbf{N}+\mathbf{A P} \cdot \mathbf{N}=0
$$
表明 $\mathbf{Q}$ 满足方程的点法线形式 $\mathbf{A X} \cdot \mathbf{N}=0$ 为积分 $\mathbf{X}$ 在线（或超平面）上 $\mathbf{L}$ ，以便 $\mathbf{Q}$ 确实躺 在 $\mathbf{L}$. 此外，很容易检查 $\mathbf{A Q}$ 是的正交投影 $\mathbf{A P}$ 上 $\mathbf{L}$. 这意味着，如果 $\mathbf{V}$ 是单位方向向量 $\mathbf{L}$ ， 然后 $\mathbf{A} \mathbf{Q}=(\mathbf{A P} \bullet \mathbf{V}) \mathbf{V}$ 我们可以定义反射 $S$ 经过
$$
\mathrm{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}+2(\mathbf{P} \mathbf{A}+\mathbf{A} \mathbf{Q})
$$
线性代数作业代写linear algebra代考|Motions Preserve the Dot Product
证明。我们将证明M是两步的线性变换。
权利要求 1 。 $M(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathrm{M}(\mathbf{u})+\mathrm{M}(\mathbf{v})$.
定义一个向量w由等式
$$
\mathbf{u}+\mathbf{v}=2 \mathbf{w}
$$
这个方程可以改写为
$$
\mathbf{w}=\mathbf{u}+\frac{1}{2}(\mathbf{v}-\mathbf{u})
$$
请参见图 2.6。自从 $M(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ (这意味着 $|\mathrm{M}(\mathbf{p})|=|\mathbf{p}|$ 对于任何向量 $\mathbf{p}$ )，我们可以使用方 程 (2.15) 和引理 2.2.2 得出结论:
$$
M(\mathbf{u}+\mathbf{v})=2 \mathrm{M}(\mathbf{w}) .
$$
类似地，等式 (2.16) 和引理 $2.2 .2$ 意味着
$$
\mathrm{M}(\mathbf{w})=\mathrm{M}(\mathbf{u})+\frac{1}{2}(\mathbf{M}(\mathbf{v})-\mathrm{M}(\mathbf{u}))
$$
将表达式替换为 $\mathbf{M}(\mathbf{w})$ 将等式 (2.18) 转化为等式 (2.17) 并简化结果证明Claim1. 权利要求 2。 $\mathrm{M}(\mathrm{cv})=\mathrm{cM}(\mathbf{v})$, 对于任何实数c.
这来自引理 2.2.2（让 $\mathbf{A}=\mathbf{0}, \mathbf{B}=\mathbf{v}$ ， 和 $\mathrm{t}=\mathrm{c}$ 在那个引理中）。定理2.2.4.1被证明。
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线性代数到底应该怎么学？
线代是一门逻辑性非常强的数学，非常注重对概念的深入理解，QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣，学的时候经常要翻前面的东西。
在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？
如何理清楚线代的概念，总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异，书+记笔记+刷题，但这三个怎么用，在UrivatetaTA了解到的情况来说，我觉得大部分人对总结理解是不准确的，以下将说明我认为效率最高的的总结方法。
1.1 mark on book
【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为
A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。
B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了
C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点
1.2 take note
记笔记千万不是抄书！！！我看到很多课友都是，抄老师的PPT，或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来，但数学不是背书嗷，抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。
1.3 understand the relation between definitions
比如特征值，特征向量，不变子空间，Jordan blocks， Jordan stadard form的一堆定义和推论，看起来很难记，但搞懂他们之间的关系就很简单了
美本或者加拿大本科，如果需要期末考试之前突击线性代数，怎样可以效率最大化？
如果您是美本或者加拿大本科的学生，那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书，这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度，以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.
从目录来看，这本书从linear vector space的定义讲起，引入线性代数这一主题，第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间，这样做的好处是规避Zorn lemma的使用，在处理无穷维线性空间的过程中，取基不可避免的需要用到zorn lemma，第二章主要讲了independent set和basis的概念，同时引入了维数
前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段，理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事，虽然还没有学任何non-trivial的内容，此时最重要的当然是linear vector space和independent set， basis， dimension的概念
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