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线性代数网课代修|计算机图形学代写Computer Graphics代考|COMP7204

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • 数值分析
  • 高等线性代数
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  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Central Projections and Perspectivities

Definition. Let $\mathbf{O}$ be a fixed point of $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$. For every point $\mathbf{p}$ of $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ distinct from $\mathbf{0}$, let $\mathbf{L}{\mathbf{p}}$ denote the line through $\mathbf{O}$ and $\mathbf{p}$. If $\mathbf{Y}$ is a hyperplane in $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ not containing $\mathbf{O}$, then define a map $$ \pi{\mathrm{o}}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{Y}
$$
by
$$
\begin{aligned}
\pi_{\mathbf{o}}(\mathbf{p}) &=\mathbf{L}{\mathbf{p}} \cap \mathbf{Y}, \text { if } \mathbf{L}{\mathbf{p}} \text { intersects } \mathbf{Y} \text { in a single point, } \
&=\text { undefined, otherwise. }
\end{aligned}
$$
The map $\pi_{\mathbf{o}}$ is called the central projection with center $\boldsymbol{O}$ of $\boldsymbol{R}^{n}$ to the plane $\boldsymbol{Y}$. If $\mathbf{X}$ is another hyperplane in $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$, then the restriction of $\pi_{\mathbf{O}}$ to $\mathbf{X}, \pi_{\mathbf{0}} \mid \mathbf{X}: \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{Y}$, is called the perspective transformation or perspectivity from $\boldsymbol{X}$ to $\boldsymbol{Y}$ with center $\boldsymbol{O}$.

Note that our terminology makes a slight distinction between central projections and perspectivities. Both send points to a plane, but the former is defined on all of Euclidean space, whereas the latter is only defined on a plane; however, they clearly are closely related.

Clearly, from the point of view of formulas, one would not expect our new maps to be complicated because they simply involve finding the intersection of a line with a hyperplane. Let us look at some simple examples to get a feel for what geometric propertics these maps posscss. First, consider perspectivitics betwecn lincs in $\mathbf{R}^{2}$. Figure $3.1$ shows the case where the two lines parallel. In this case, the ratio of the distance between points and the distance between their images is constant. The perspectivity is one-to-one and onto. It preserves parallelism, concurrence, ratio of division, and betweenness.

What happens when the two lines are not parallel? See Figure 3.2. The point $\mathbf{V}$ on $\mathbf{L}$ has no image and the point $\mathbf{W}$ on $\mathbf{L}^{\prime}$ has no preimage. These points are called vanishing points. Betweenness is not preserved as is demonstrated by the points $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, and $\mathbf{C}$ in Figure 3.2. Furthermore, the fact that betweenness is not preserved leads to other properties not being preserved. In particular, segments, rays, and ratios of division are not preserved, and distances are distorted by different constants.

Next, consider perspectivities between planes. When the planes are parallel, things behave pretty well just like for parallel lines. The interesting case is when the planes are not parallel. Consider a perspectivity with center $\mathbf{O}$ from a plane $\mathbf{X}$, which we shall call the object plane, to another plane $\mathbf{Y}$, which we shall call the view plane. The following facts are noteworthy.

线性代数作业代写linear algebra代考|Homogeneous Coordinates

One of the key idcas in the study of analytic projective geometry is that of homogeneous coordinates. The standard Cartesian coordinates are sometimes referred to as “nonhomogeneous” coordinates and are simply one of many ways to specify points in space with real numbers. Other ways are polar coordinates in the plane and cylindrical and spherical coordinates in 3-space. Barycentric coordinates are a type of “homogeneous” coordinates. They specify points relative to a fixed set of points.
Out of the many ways that one can coordinatize points, which is the most convenient depends completely on the type of problem we are trying to solve. Homogeneous coordinates are just another way of coordinatizing points. Historically they find their roots in Moebius’ work on barycentric coordinates (Der Barycentrische Calcul, 1827) and the fact that they are useful with central projections. Here we motivate their definition by looking at the relationship between points and solutions to linear equations.

We shall start with the real line $\mathbf{R}$. What we are about to do may seem a little silly at first, but if the reader will bear with us, it should make more sense in the end. Linear equations in $\mathbf{R}$ have the form
$$
a x+b=0, \quad \text { with } \quad a \neq 0 .
$$
We can think of $\mathbf{R}$ as the set of solutions to all equations of the form (3.12). Equation (3.12) is homogeneous in a and $\mathrm{b}$, but not in $\mathrm{x}$. We can achieve more symmetry by introducing another variable $\mathrm{Y}$ and consider the equation
$$
a X+b Y=0, \text { with }(a, b) \neq(0,0)
$$
The trivial solution $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=(0,0)$ is uninteresting and will be excluded from consideration. Note that if we have a solution $x$ to equation (3.12), then we have a solution $(\mathrm{x}, 1)$ to equation (3.13). In fact, $(\mathrm{kx}, \mathrm{k})$ will also be a solution to (3.13) for all $\mathrm{k} \neq 0$. Conversely, if $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ is a solution to (3.13), then $\mathrm{X} / \mathrm{Y}$ is a solution to (3.12) if $\mathrm{Y} \neq 0$. In short, each solution $x$ to (3.12) gives rise to a class of solutions $(\mathrm{kx}, \mathrm{k}), \mathrm{k} \neq 0$, to (3.13) and each class of solutions ( $\mathrm{kX}, \mathrm{kY})$ to (3.13) with $\mathrm{k} \neq 0$ and $\mathrm{Y} \neq 0$ gives rise to a unique solution $\mathrm{X} / \mathrm{Y}$ to (3.12).

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线性代数作业代写linear algebra代考|Central Projections and Perspectivities

定义。让 $\mathbf{O}$ 是一个固定点 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$. 对于每一点 $p$ 的 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ 区别于 $\mathbf{0}$ ,让 $\mathbf{L p}$ 表示通过的线 $\mathbf{O}$ 和 $p$. 如果 $\mathbf{Y}$ 是一个超平面 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ 不包含 $\mathbf{O}$ ,然后定义一个映射
$\pi \mathrm{o}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{Y}$
经过
$\pi_{\mathrm{o}}(\mathbf{p})=\mathbf{L} \mathbf{p} \cap \mathbf{Y}$, if $\mathbf{L} \mathbf{p}$ intersects $\mathbf{Y}$ in a single point, $\quad=$ undefined, otherwise.
地图 $\pi_{\mathrm{o}}$ 称为有中心的中心投影 $O$ 的 $\boldsymbol{R}^{n}$ 到飞机 $Y$. 如果 $\mathbf{X}$ 是另一个超平面 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$, 那么限制 $\pi_{\mathrm{O}}$ 至 $\mathrm{X}, \pi_{0} \mid \mathrm{X}: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$, 称为透视变换或透视 $X$ 至 $Y$ 带中心 $O$.
请注意,我们的术语在中心投影和透视之间略有区别。两者都将点发送到一个平面上,但前 者定义在整个欧几里得空间上,而后者只定义在一个平面上;然而,它们显然是密切相关 的。
显然,从公式的角度来看,人们不会期望我们的新地图会很复杂,因为它们只涉及找到一条 线与超平面的交点。让我们看一些简单的例子来感受一下这些地图的几何特性。首先,考虑 一下 lincs 之间的视角 $\mathbf{R}^{2}$. 数字 $3.1$ 显示两条线平行的情况。在这种情况下,点之间的距离与 其图像之间的距离之比是恒定的。透视是一对一的。它保留了并行性、并发性、除法比和介 数。
当两条线不平行时会发生什么? 请参见图 3.2。重点 $\mathbf{V}$ 上L没有形象和重点 $\mathbf{W}$ 上 $\mathbf{L}^{\prime}$ 没有原 像。这些点被称为消失点。正如点所证明的那样,中间性没有被保留 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ,和 $\mathbf{C}$ 在图 $3.2$ 中。此外,不保留介数这一事实导致不保留其他属性。特别是,段、射线和分割比没有保 留,并且距离被不同的常数扭曲。
接下来,考虑平面之间的透视。当平面平行时,事情的表现就像平行线一样。有趣的情况是 当平面不平行时。考虑具有中心的透视 $\mathbf{O}$ 从机上 $\mathbf{X}$ ,我们称之为物平面,到另一个平面 $\mathbf{Y}$ ,我们称之为视图平面。以下事实值得注意。

线性代数作业代写linear algebra代考|Homogeneous Coordinates

解析射影几何研究中的关键 idcas 之一是齐次坐标。标准笛卡尔坐标有时被称为“非齐次”坐 标,它只是用实数指定空间点的众多方法之一。其他方式是平面中的极坐标以及 3 空间中 的柱面和球面坐标。重心坐标是一种“齐次”坐标。它们指定相对于一组固定点的点。
在协调点的许多方法中,最方便的方法完全取决于我们试图解决的问题类型。齐次坐标只是 协调点的另一种方式。从历史上看,它们的根源在于 Moebius 关于重心坐标的工作 (Der Barycentrische Calcul,1827) 以及它们对中心投影很有用的事实。在这里,我们通过查 看点与线性方程解之间的关系来激发他们的定义。
我们将从实线开始R. 我们将要做的事情起初可能看起来有点鲋,但如果读者能忍受我们, 最后应该会更有意义。线性方程组 $\mathbf{R}$ 有表格
$$
a x+b=0, \quad \text { with } \quad a \neq 0 .
$$
我们可以想到 $\mathbf{R}$ 作为 (3.12) 形式的所有方程的解的集合。方程 (3.12) 在 a 和b,但不在 $x$. 我们可以通过引入另一个变量来实现更多的对称性 $\mathrm{Y}$ 并考虑方程
$$
a X+b Y=0, \text { with }(a, b) \neq(0,0)
$$
微不足道的解决方案 $(X, Y)=(0,0)$ 是无趣的,将被排除在考虑之外。请注意,如果我们 有解决方案 $x$ 到方程 $(3.12)$ ,那么我们有一个解 $(\mathrm{x}, 1)$ 到方程 $(3.13)$ 。实际上, $(\mathrm{kx}, \mathrm{k})$ 也将是所有 (3.13) 的解决方案 $\mathrm{k} \neq 0$. 相反,如果 $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 是 (3.13) 的解,则 $\mathrm{X} / \mathrm{Y}$ 是 (3.12) 的解,如果 $\mathrm{Y} \neq 0$. 简而言之,每个解决方案 $x$ 到 (3.12) 产生一类解 $(\mathrm{kx}, \mathrm{k}), \mathrm{k} \neq 0$, 到 (3.13) 和每一类解 $(\mathrm{kX}, \mathrm{kY})$ 到 (3.13) 与 $\mathrm{k} \neq 0$ 和 $\mathrm{Y} \neq 0$ 产生独特的解决方案 $\mathrm{X} / \mathrm{Y}$ 到 (3.12) 。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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计量经济学是利用统计方法检验经济学理论的一种方法,它既不属于统计的范畴也不属于经济的范畴更像是一种经验科学。大家有专业的问题可以在my-assignmentexpert™ 这里答疑,多读一读,相关的基础性的东西,做一些统计和经济的基础知识的积累对于学习计量经济学这一门课程都是有很大帮助的。

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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