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线性代数网课代修|计算机图形学代写Computer Graphics代考|COMP6370

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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线性代数作业代写linear algebra代考|The Projective Plane

The informal discussion of linear equations and their solutions in the previous section led to homogeneous coordinates and suggested a new way of looking at points in the plane. We shall now develop these observations more rigorously. Although we are only interested in the projective line and plane for a while, we start off with some general definitions so that we do not have to repeat them for each dimension.
3.4.1. Lemma. The relation $\sim$ defined on the points $\mathbf{p}$ of $\mathbf{R}^{\mathrm{n}+1}-\mathbf{0}$ by $\mathbf{p} \sim \mathrm{cp}$, for $\mathrm{c} \neq$ 0 , is an equivalence relation.
Proof. This is an easy exercise.
Definition. The set of equivalence classes of $\mathbf{R}^{\mathrm{n}+1}-\mathbf{0}$ with respect to the relation $\sim$ defined in Lemma 3.4.1 is called the n-dimensional (real) projective space $\mathbf{P}^{\mathrm{n}}$. In more compact notation (see Section $5.4$ and the definition of a quotient space),
$$
\mathbf{P}^{\mathrm{n}}=\left(\mathbf{R}^{\mathrm{n}+1}-\mathbf{0}\right) / \sim \text {. }
$$
The special cases $\mathbf{P}^{1}$ and $\mathbf{P}^{2}$ are called the projective line and projective plane, respectively. If $\mathbf{P} \subset \mathbf{P}^{\mathrm{n}}$ and $\mathbf{P}=\left[\mathrm{x}{1}, \mathrm{x}{2}, \ldots, \mathrm{x}{\mathrm{n}+1}\right]$, then the numbers $\mathrm{x}{1}, \mathrm{x}{2}, \ldots, \mathrm{x}{\mathrm{n}+1}$ are called homogeneous coordinates of $\mathbf{P}$. One again typically uses the expression ” $\left(\mathrm{x}{1}, \mathrm{x}{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}\right)$ are homogeneous coordinates for $\mathbf{P}^{\prime \prime}$ in that case.

Note that $\mathbf{P}^{0}$ consists of the single point [1]. We can think of points in $\mathbf{P}^{1}$ or $\mathbf{P}^{2}$ as equivalence classes of solutions to (3.13) or (3.15), or alternatively, as the set of lines through the origin in $\mathbf{R}^{2}$ or $\mathbf{R}^{3}$, respectively. Other characterizations of the abstract spaces $\mathbf{P}^{\mathrm{n}}$ will be given in Section 5.9. There are actually many ways to introduce coordinates for their points. In the next section we shall see how this can be done for $\mathbf{P}^{1}$ and $\mathbf{P}^{2}$.
It is easy to check that the maps $\mathbf{P}^{0} \rightarrow \mathbf{P}^{1} \quad, \quad \mathbf{P}^{1} \quad \rightarrow \quad \mathbf{P}^{2}$
$[\mathrm{X}] \rightarrow[0, \mathrm{X}] \quad[\mathrm{X}, \mathrm{Y}] \rightarrow[\mathrm{X}, 0, \mathrm{Y}]$
and
are one-to-one. Therefore, by identifying the corresponding points, we shall think of these maps as inclusion maps and get a commutative diagram
$$
\begin{aligned}
&\mathbf{P}^{0} \subset \mathbf{P}^{1} \subset \mathbf{P}^{2} \
&| \quad \cup \cup \
&\mathbf{R}^{0} \subset \mathbf{R}^{1} \subset \mathbf{R}^{2}
\end{aligned}
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|Analytic Properties of the Projective Plane

This section describes some analytic properties of $\mathbf{P}^{2}$.
3.4.1.1. Theorem. Three distinct points $\left[\mathrm{X}{1}, \mathrm{Y}{1}, \mathrm{Z}{1}\right],\left[\mathrm{X}{2}, \mathrm{Y}{2}, \mathrm{Z}{2}\right]$, and $\left[\mathrm{X}{3}, \mathrm{Y}{3}, \mathrm{Z}{3}\right]$ of $\mathbf{P}^{2}$ are collinear if and only if $$ \left|\begin{array}{lll} \mathrm{X}{1} & \mathrm{Y}{1} & \mathrm{Z}{1} \
\mathrm{X}{2} & \mathrm{Y}{2} & \mathrm{Z}{2} \ \mathrm{X}{3} & \mathrm{Y}{3} & \mathrm{Z}{3}
\end{array}\right|=0
$$
Proof. We basically have to find numbers a, b, and c, not all zero, so that
$$
a X_{i}+b Y_{i}+c Z_{i}=0, \quad i=1,2,3 .
$$
The theorem is now an easy consequence of basic facts about when such systems of equations admit nontrivial solutions.
3.4.1.2. Corollary. The line in $\mathbf{P}^{2}$ determined by two distinct points $\left[X_{1}, Y_{1}, Z_{1}\right]$ and $\left[\mathrm{X}{2}, \mathrm{Y}{2}, \mathrm{Z}{2}\right]$ has equation $$ \left|\begin{array}{ll} \mathrm{Y}{1} & \mathrm{Z}{1} \ \mathrm{Y}{2} & \mathrm{Z}{2} \end{array}\right| \mathrm{X}+\left|\begin{array}{ll} \mathrm{Z}{1} & \mathrm{X}{1} \ \mathrm{Z}{2} & \mathrm{X}{2} \end{array}\right| \mathrm{Y}+\left|\begin{array}{cc} \mathrm{X}{1} & \mathrm{Y}{1} \ \mathrm{X}{2} & \mathrm{Y}{2} \end{array}\right| \mathrm{Z}=0 . $$ Proof. Simply apply Theorem 3.4.1.1 to points $[\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}],\left[\mathrm{X}{1}, \mathrm{Y}{1}, \mathrm{Z}{1}\right]$, and $\left[\mathrm{X}{2}, \mathrm{Y}{2}, \mathrm{Z}{2}\right]$ and expand the determinant in the theorem by minors using the top row of the matrix. 3.4.1.3. Theorem. If the lines $\mathbf{L}{1}$ in $\mathbf{P}^{2}$ defincd by cquations
$$
a_{\mathrm{i}} \mathrm{X}+\mathrm{b}{\mathrm{i}} \mathrm{Y}+\mathrm{c}{\mathrm{i}} \mathrm{Z}=0, \quad \mathrm{i}=1,2,
$$
are distinct, then they intersect in the point $\left[\left(\mathrm{a}{1}, \mathrm{~b}{1}, \mathrm{c}{1}\right) \times\left(\mathrm{a}{2}, \mathrm{~b}{2}, \mathrm{c}{2}\right)\right]$.
Proof. This follows from the fact that the cross product of two vectors is orthogonal to both of the vectors.
3.4.1.4. Theorem. Let $\mathbf{L}$ be the line in $\mathbf{P}^{\text {? }}$ determined by two distinct points $\mathbf{P}{1}=\left[\mathbf{p}{1}\right]$ and $\mathbf{P}{2}=\left[\mathbf{p}{2}\right], \mathbf{p}_{\mathrm{i}} \in \mathbf{R}^{3}$.

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线性代数作业代写linear algebra代考|The Projective Plane

上一节中对线性方程及其解的非正式讨论导致了齐次坐标,并提出了一种查看平面中点的新 方法。我们现在将更严格地发展这些观察。虽然我们暂时只对投影线和平面感兴趣,但我们 从一些一般定义开始,这样我们就不必对每个维度重复它们。
3.4.1。引理。关系 在点上定义 $\mathbf{p}$ 的 $\mathbf{R}^{\mathbf{n}+1}-\mathbf{0}$ 经过 $\mathbf{p} \sim \mathrm{cp}$ ,为了 $\mathbf{c} \neq 0$ ,是等价关系。 证明。这是一个简单的练习。
定义。等价类的集合 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}+1}-\mathbf{0}$ 关于关系 $~$ 理 3.4.1 中定义的称为 $\mathrm{n}$ 维 (实) 射影空间 $\mathbf{P}^{\mathrm{n}}$. 在更紧凑的符号(见第5.4以及商空间的定义),
$$
\mathbf{P}^{\mathrm{n}}=\left(\mathbf{R}^{\mathrm{n}+1}-\mathbf{0}\right) / \sim .
$$
特殊情况 $\mathbf{P}^{1}$ 和 $\mathbf{P}^{2}$ 分别称为投影线和投影平面。如果 $\mathbf{P} \subset \mathbf{P}^{\mathrm{n}}$ 和 $\mathbf{P}=[\mathrm{x} 1, \mathrm{x} 2, \ldots, \mathrm{xn}+1]$ ,然后数字 $x 1, x 2, \ldots, x n+1$ 称为齐次坐标 $\mathbf{P}$. 再次通常使用表达“ $\left(\mathrm{x} 1, \mathrm{x} 2, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}\right)$ 是齐 次坐标 $\mathbf{P}^{\prime \prime}$ 在这种情况下。
注意 $\mathbf{P}^{0}$ 由单点 [1] 组成。我们可以想到点 $\mathbf{P}^{1}$ 或者 $\mathbf{P}^{2}$ 作为 (3.13) 或 (3.15) 解的等价类,或 者作为通过原点的线集 $\mathbf{R}^{2}$ 或者 $\mathbf{R}^{3}$ ,分别。抽象空间的其他特征 $\mathbf{P}^{\mathrm{n}}$ 将在第 $5.9$ 节中给出。 实际上有很多方法可以为它们的点引入坐标。在下一节中,我们将看到如何为 $\mathbf{P}^{1}$ 和 $\mathbf{P}^{2}$.
很容易检查地图 $\mathbf{P}^{0} \rightarrow \mathbf{P}^{1} \quad, \quad \mathbf{P}^{1} \quad \rightarrow \quad \mathbf{P}^{2}$
$[\mathrm{X}] \rightarrow[0, \mathrm{X}] \quad[\mathrm{X}, \mathrm{Y}] \rightarrow[\mathrm{X}, 0, \mathrm{Y}]$
并且
是一对一的。因此,通过识别对应点,我们将这些映射视为包含映射,并得到一个交换图
$$
\mathbf{P}^{0} \subset \mathbf{P}^{1} \subset \mathbf{P}^{2} \quad \mid \quad \cup \cup \mathbf{R}^{0} \subset \mathbf{R}^{1} \subset \mathbf{R}^{2}
$$

线性代数作业代写linear algebra代考|Analytic Properties of the Projective Plane

本节描述了一些分析性质 $\mathbf{P}^{2}$.
3.4.1.1。定理。三个不同的点 $[\mathrm{X} 1, \mathrm{Y} 1, \mathrm{Z} 1],[\mathrm{X} 2, \mathrm{Y} 2, \mathrm{Z} 2]$ ,和 $[\mathrm{X} 3, \mathrm{Y} 3, \mathrm{Z} 3]$ 的 $\mathbf{P}^{2}$ 共线当且 仅当
$\left|\begin{array}{lllllll}\mathrm{X} 1 & \mathrm{Y} 1 & \mathrm{Z} 1 \mathrm{X} 2 & \mathrm{Y} 2 & \mathrm{Z} 2 \mathrm{X} 3 & \mathrm{Y} 3 & \mathrm{Z} 3\end{array}\right|=0$
证明。我们基本上必须找到数字 $a 、 b$ 和 $c$ ,而不是全为零,这样
$$
a X_{i}+b Y_{i}+c Z_{i}=0, \quad i=1,2,3
$$
该定理现在是关于此类方程组何时允许非平凡解的基本事实的简单结果。
3.4.1.2。推论。线在 $\mathbf{P}^{2}$ 由两个不同的点决定 $\left[X_{1}, Y_{1}, Z_{1}\right]$ 和 $[\mathrm{X} 2, \mathrm{Y} 2, \mathrm{Z} 2]$ 有方程
$|\mathrm{Y} 1 \quad \mathrm{Z} 1 \mathrm{Y} 2 \quad \mathrm{Z} 2| \mathrm{X}+|\mathrm{Z} 1 \quad \mathrm{X} 1 \mathrm{Z} 2 \quad \mathrm{X} 2| \mathrm{Y}+|\mathrm{X} 1 \quad \mathrm{Y} 1 \mathrm{X} 2 \quad \mathrm{Y} 2| \mathrm{Z}=0$
证明。只需将定理 3.4.1.1 应用于点 $[\mathrm{X}, \mathrm{Y}, \mathrm{Z}],[\mathrm{X} 1, \mathrm{Y} 1, \mathrm{Z} 1]$ , 和 $[\mathrm{X} 2, \mathrm{Y} 2, \mathrm{Z} 2]$ 并使用矩阵的 顶行通过小数扩展定理中的行列式。3.4.1.3。定理。如果线路 $\mathbf{L} 1$ 在 $\mathbf{P}^{2}$ 由 cquations 定义
$$
a_{\mathrm{i}} \mathrm{X}+\mathrm{biY}+\mathrm{ciZ}=0, \quad \mathrm{i}=1,2,
$$
是不同的,然后它们在点相交 $[(\mathrm{a} 1, \mathrm{~b} 1, \mathrm{c} 1) \times(\mathrm{a} 2, \mathrm{~b} 2, \mathrm{c} 2)]$.
证明。这是因为两个向量的叉积与两个向量都正交。
3.4.1.4。定理。让 $\mathbf{L}$ 排队 $\mathbf{P}^{?}$ 由两个不同的点决定 $\mathbf{P} 1=[\mathbf{p} 1]$ 和 $\mathbf{P} 2=[\mathbf{p} 2], \mathbf{p}_{\mathrm{i}} \in \mathbf{R}^{3}$.

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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