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线性代数网课代修|计算机图形学代写Computer Graphics代考|COMP3170

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考Beyond the Plane

Up to now, although some things applied to $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$, most of the details were specifically about transformations in the plane. The fact is that much of what we did generalizes to higher dimensions.
We start with motions of $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$.
2.5.1. Theorem. Every motion $\mathbf{M}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ can be expressed by equations of the form
$$
\begin{aligned}
&x_{1}^{\prime}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}+c_{1} \
&x_{2}^{\prime}=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}+c_{2}
\end{aligned}
$$
$$
\mathrm{x}{\mathrm{n}}^{\prime}=\mathrm{a}{\mathrm{n} 1} \mathrm{x}{1}+\mathrm{a}{\mathrm{n} 2} \mathrm{x}{2}+\ldots+\mathrm{a}{\mathrm{nn}} \mathrm{x}{\mathrm{n}}+\mathrm{c}{\mathrm{n}}
$$
where $A_{M}=\left(a_{i j}\right)$ is an orthogonal matrix. Conversely, every such system of equations defines a motion.

Proof. The discussion in Section $2.2 .8$ on frames showed that the theorem is valid for motions in the plane. For the general case, assume without loss of generality that $\mathbf{M}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$. The key facts are Theorem $2.2 .4 .1$, which says that $\mathrm{M}$ is a linear transformation (and hence is defined by a matrix), and Lemma 2.2.4.3, which says that $\mathrm{M}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{M}(\mathbf{v})=\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$, for all vectors $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$. The rest of the proof simply involves analyzing the conditions $\mathrm{M}\left(\mathbf{e}{\mathrm{i}}\right) \cdot \mathrm{M}\left(\mathbf{e}{\mathrm{j}}\right)=\mathbf{e}{\mathrm{i}} \bullet \mathbf{e}{\mathrm{j}}=\delta_{\mathrm{ij}}$ and is left as an exercise (Exercise 2.5.1).
In studying motions in the plane we made use of some important special motions, such as translations, rotations, and reflections. Translations already have a general definition. The natural generalization of the definition of a reflection is to replace lines by hyperplanes.

Definition. Let $\mathbf{X}$ be a hyperplane in $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$. Define a map $\mathrm{S}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{R}^{\mathrm{n}}$, called the reflection about the hyperplane $\boldsymbol{X}$, as follows: Let $\mathbf{A}$ be a point in $\mathbf{X}$ and let $\mathbf{N}$ be a normal vector for $\mathbf{X}$. If $\mathbf{P}$ is any point in $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$, then $\mathbf{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}+2 \mathbf{P Q}$, where $\mathbf{P Q}$ is the orthogonal projection of $\mathbf{P A}$ on $\mathbf{N}$. See Figure 2.25.

线性代数作业代写linear algebra代考|Motions in 3-Space

In this section we look at the mechanics of transforming objects in 3-space. This may not seem as easy as it was in the plane, but if we break the general problem into a sequence of simple primitive ones, then it will become easy again.

Rigid motions are composites of rotations and/or translations. Is is useful to have some alternate characterizations of rotations. The first characterization comes from the Principal Axis Theorem (Theorem 2.5.5), which says that every rotation is a rotation about an axis. Before we can make use of this way of looking at a rotation we must resolve an ambiguity that we alluded to in a comment immediately following Theorem 2.5.5. Suppose that $\mathbf{v}$ is a direction vector for the axis. If we consider a plane orthogonal to the axis of the rotation, the notion of counterclockwise for this plane, which is what is normally used to define the positive direction for an angle, will depend on whether we are looking down on this plane from a point on the axis in the $\mathbf{v}$ or $-\mathbf{v}$ direction. The only way that this ambiguity in the expression “a rotation about a line through a given angle” can be avoided is by requiring the line to be oriented.
The axis-angle representation of a rotation: Here we represent a rotation by a triple $(\mathbf{p}, \mathbf{u}, \theta)$, where the point $\mathbf{p}$ and unit (direction) vector $\mathbf{u}$ specify the axis and $\theta$ is the angle of rotation determined according to the following rule:

The rotation orientation rule: Think of $\mathbf{u}$ as being the $\mathrm{z}$-axis for a coordinate system at $\mathbf{p}$. Stand at $\mathbf{p}+\mathbf{u}$ and look towards the “origin” $\mathbf{p}$. The counterclockwise direction in the ” $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ plane” of this coordinate system will then determine the positive direction for an angle. See Figure 2.27. More precisely, choose vectors $\mathbf{u}{1}$ and $\mathbf{u}{2}$ so that $\left(\mathbf{u}{1}, \mathbf{u}{2}, \mathbf{u}\right)$ forms an orthonormal basis for $\mathbf{R}^{3}$ that induces the standard orientation. Then $\left(\mathbf{u}{1}, \mathbf{u}{2}\right)$ induces the desired orientation on the $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ plane of the coordinate system from which “clockwise” and “counterclockwise” are determined. The rule can also be expressed in terms of the so-called “right-hand rule,” that is, if one lets the thumb of one’s right hand point in the direction of $\mathbf{u}$, then the curl of the fingers will specify the positive direction of angles. See Figure 2.27 again.

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线性代数作业代写linear algebra代考Beyond the Plane

到目前为止,虽然有些东西适用于 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ ,大部分细节都是专门关于平面中的变换的。事实 上,我们所做的大部分事情都可以推广到更高的维度。
我们从以下动作开始 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$.
2.5.1。定理。每一个动作 $\mathbf{M}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ 可以用以下形式的方程表示
$$
x_{1}^{\prime}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}+c_{1} \quad x_{2}^{\prime}=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}+c_{2}
$$
$$
\mathrm{xn}^{\prime}=\operatorname{an} 1 \mathrm{x} 1+\operatorname{an} 2 \mathrm{x} 2+\ldots+\operatorname{ann} x \mathrm{x}+\mathrm{cn}
$$
在哪里 $A_{M}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个正交矩阵。相反,每一个这样的方程组都定义了一个运动。
证明。节中的讨论 $2.2 .8$ 帧上表明该定理适用于平面内的运动。对于一般情况,不失一般性 假设 $\mathbf{M}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$. 关键事实是定理 $2.2 .4 .1$ ,它说M是线性变换(因此由矩阵定义),引理 $2.2 .4 .3$ 表示 $\mathrm{M}(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{M}(\mathbf{v})=\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$, 对于所有向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$. 其余的证明只涉及分析条件 $\mathbf{M}(\mathbf{e i}) \cdot \mathrm{M}(\mathbf{e j})=\mathbf{e i} \bullet \mathbf{e j}=\delta_{\mathrm{ij}}$ 并留作练习 (练习 2.5.1)。
在研究平面运动时,我们利用了一些重要的特殊运动,例如平移、旋转和反射。翻译已经有 了一个通用的定义。反射定义的自然概括是用超平面代替线。
定义。让 $\mathbf{X}$ 成为一个超平面 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$. 定义地图 $\mathrm{S}: \mathbf{R}^{\mathrm{n}} \rightarrow \mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ ,称为关于超平面的反射 $\boldsymbol{X}$, 如下: 让 $\mathbf{A}$ 成为一个点 $\mathbf{X}$ 然后让 $\mathbf{N}$ 是一个法向量 $\mathbf{X}$. 如果 $\mathbf{P}$ 是任何一点 $\mathbf{R}^{\mathrm{n}}$ , 然后
$\mathbf{S}(\mathbf{P})=\mathbf{P}+2 \mathbf{P Q}$ , 在哪里 $\mathbf{P Q}$ 是的正交投影 $\mathbf{P A} \mathbf{A} \mathbf{N}$. 请参见图 2.25。

线性代数作业代写linear algebra代考|Motions in 3-Space

在本节中,我们将了解在 3 空间中变换对象的机制。这可能看起来不像在平面上那么容 易,但是如果我们将一般问题分解为一系列简单的原始问题,那么它就会再次变得容易。
刚性运动是旋转和或平移的组合。对旋转进行一些替代表征很有用。第一个特征来自主轴 定理 (定理 2.5.5),它表示每次旋转都是绕轴旋转。在我们可以使用这种查看旋转的方式 之前,我们必须解决我们在紧接定理 $2.5 .5$ 之后的评论中提到的歧义。假设v是轴的方向向 量。如果我们考虑一个与旋转轴正交的平面,这个平面的逆时针概念,通常用来定义一个角 度的正方向,将取决于我们是否从一个点向下看这个平面在轴上 $v$ 或者 $-\mathbf{v}$ 方向。可以避免 “围绕一条线旋转一个给定角度”这一表述中的这种歧义的唯一方法是要求该线是定向的。 旋转的轴角表示: 这里我们用三元组表示旋转 $(\mathbf{p}, \mathbf{u}, \theta)$, 点在哪里 $\mathbf{p}$ 和单位 (方向) 向量 $\mathbf{u}$ 指 定轴和 $\theta$ 是根据以下规则确定的旋转角度:
旋转方向规则: 想想 $\mathbf{u}$ 作为 $z$-axis 坐标系p. 站在 $\mathbf{p}+\mathbf{u}$ 看向“原点”p. “中的逆时针方向 $x-y$ 这个坐标系的平面”然后将确定一个角度的正方向。请参见图 2.27。更准确地说,选择向量 $\mathbf{u} 1$ 和 $\mathbf{u} 2$ 以便 $(\mathbf{u} 1, \mathbf{u} 2, \mathbf{u})$ 形成一个标准正交基 $\mathbf{R}^{3}$ 这导致了标准方向。然后 $(\mathbf{u} 1, \mathbf{u} 2)$ 诱导上 所需的方向 $x-y$ 确定“顺时针”和“逆时针”的坐标系平面。该规则也可以用所谓的“右手规则” 来表达,即如果一个人让右手的拇指指向 $u$ ,然后手指的卷曲将指定角度的正方向。再次参 见图 2.27。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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计量经济学是利用统计方法检验经济学理论的一种方法,它既不属于统计的范畴也不属于经济的范畴更像是一种经验科学。大家有专业的问题可以在my-assignmentexpert™ 这里答疑,多读一读,相关的基础性的东西,做一些统计和经济的基础知识的积累对于学习计量经济学这一门课程都是有很大帮助的。

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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