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线性代数网课代修|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH4312

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 高等线性代数
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  • 线性规划
  • 逼近论
线性代数网课代修|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH4312

线性代数作业代写linear algebra代考|A Division Algorithm in k

In $\S 1$, we saw how the division algorithm could be used to solve the ideal membership problem for polynomials of one variable. To study this problem when there are more variables, we will formulate a division algorithm for polynomials in $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ that extends the algorithm for $k[x]$. In the general case, the goal is to divide $f \in$ $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ by $f_{1}, \ldots, f_{s} \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. As we will see, this means expressing $f$ in the form
$$
f=a_{1} f_{1}+\cdots+a_{s} f_{s}+r,
$$
where the “quotients” $a_{1}, \ldots, a_{s}$ and remainder $r$ lie in $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. Some care will be needed in deciding how to characterize the remainder. This is where we will use the monomial orderings introduced in $\S$. We will then see how the division algorithm applies to the ideal membership problem.

The basic idea of the algorithm is the same as in the one-variable case: we want to cancel the leading term of $f$ (with respect to a fixed monomial order) by multiplying some $f_{i}$ by an appropriate monomial and subtracting. Then this monomial becomes a term in the corresponding $a_{i}$. Rather than state the algorithm in general, let us first work through some examples to see what is involved.

线性代数作业代写linear algebra代考|The Hilbert Basis Theorem and Groebner Bases

In this section, we will give a complete solution of the ideal description problem from $\S$ 1. Our treatment will also lead to ideal bases with “good” properties relative to the division algorithm introduced in $\S \dot{3}$. The key idea we will use is that once we choose a monomial ordering, each $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ has a unique leading term $\operatorname{LT}(f)$. Then, for any ideal $I$, we can define its ideal of leading terms as follows.
Definition 1. Let $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ be an ideal other than ${0}$.
(i) We denote by $\mathrm{LT}(I)$ the set of leading terms of elements of $I$. Thus,
$$
\operatorname{LT}(I)=\left{c x^{\alpha}: \text { there exists } f \in I \text { with } \operatorname{LT}(f)=c x^{\alpha}\right} .
$$
(ii) We denote by $\langle\operatorname{LT}(I)\rangle$ the ideal generated by the elements of $\operatorname{LT}(I)$.
We have already seen that leading terms play an important role in the division algorithm. This brings up a subtle but important point concerning $\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$. Namely, if we are given a finite generating set for $I$, say $I=\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle$, then $\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(f_{s}\right)\right\rangle$ and $\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ may be different ideals. It is true that $\mathrm{LT}\left(f_{i}\right) \in \operatorname{LT}(I) \subset\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ by definition, which implies $\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(f_{s}\right)\right\rangle \subset\langle\operatorname{LT}(I)\rangle$. However, $\langle\operatorname{LT}(I)\rangle$ can be strictly larger. To see this, consider the following example.

Example 2. Let $I=\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle$, where $f_{1}=x^{3}-2 x y$ and $f_{2}=x^{2} y-2 y^{2}+x$, and use the grlex ordering on monomials in $k[x, y]$. Then
$$
x \cdot\left(x^{2} y-2 y^{2}+x\right)-y \cdot\left(x^{3}-2 x y\right)=x^{2},
$$ so that $x^{2} \in I$. Thus $x^{2}=\operatorname{LT}\left(x^{2}\right) \in\langle\operatorname{LT}(I)\rangle$. However $x^{2}$ is not divisible by LT $\left(f_{1}\right)=x^{3}$, or $\operatorname{LT}\left(f_{2}\right)=x^{2} y$, so that $x^{2} \notin\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \operatorname{LT}\left(f_{2}\right)\right\rangle$ by Lemma 2 of $\S 4$.

线性代数网课代修|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH4312

线性代数作业代写linear algebra代考|A Division Algorithm in k

在 1 ,我们看到了如何使用除法算法来解决一个变量多项式的理想隶属问题。当有更多变 量时,为了研究这个问题,我们将制定一个多项式的除法算法 $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 将算法扩展为 $k[x]$. 在一般情况下,目标是划分 $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 经过 $f_{1}, \ldots, f_{s} \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. 正如 我们将看到的,这意味着表达 $f$ 在表格中
$$
f=a_{1} f_{1}+\cdots+a_{s} f_{s}+r
$$
“商”在哪里 $a_{1}, \ldots, a_{s}$ 和剩余的 $r$ 位于 $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. 在决定如何表征其余部分时需要小心谨 慎。这是我们将使用引入的单项式排序的地方 $\S$. 然后我们将看到除法算法如何应用于理想 的隶属问题。
该算法的基本思想与单变量情况相同:我们要取消 $f$ (关于固定的单项式) 乘以一些 $f_{i}$ 通过 适当的单项式和减法。那么这个单项式就变成了对应的项 $a_{i}$. 让我们先通过一些示例来了解 所涉及的内容,而不是笺统地说明算法。

线性代数作业代写linear algebra代考|The Hilbert Basis Theorem and Groebner Bases

在本节中,我们将给出理想描述问题的完整解 1 1. 我们的处理也将导致理想的基数相对于
在 $\S \dot{3}$. 我们将使用的关键思想是,一旦我们选择了单项式排序,每个 $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 有
一个独特的主导词 $L T(f)$. 那么,对于任何理想 $I$ ,我们可以将其理想的前导项定义如下。
定义 1. 让 $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 成为一个理想以外的人 0 .
(i) 我们用 $\mathrm{LT}(I)$ 元素的前导项的集合 $I$. 因此,
(ii) 我们表示 $\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ 由元素产生的理想LT $(I)$.
我们已经看到,主导词在除法算法中起着重要作用。这提出了一个微妙但重要的观点
$\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$. 也就是说,如果给定一个有限生成集 $I$ ,说 $I=\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle$ ,然后
$\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(f_{s}\right)\right\rangle$ 和 $\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ 可能是不同的理想。的确如此
$\operatorname{LT}\left(f_{i}\right) \in \operatorname{LT}(I) \subset\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ 根据定义,这意味着 $\left\langle\mathrm{LT}\left(f_{1}\right), \ldots, \mathrm{LT}\left(f_{s}\right)\right\rangle \subset\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$. 然
而, $\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$ 可以严格地更大。要了解这一点,请考虑以下示例。
示例 2. 让 $I=\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle$ , 在哪里 $f_{1}=x^{3}-2 x y$ 和 $f_{2}=x^{2} y-2 y^{2}+x$, 并对单项式使用 grlex 排序 $k[x, y]$. 然后
$$
x \cdot\left(x^{2} y-2 y^{2}+x\right)-y \cdot\left(x^{3}-2 x y\right)=x^{2},
$$
以便 $x^{2} \in I$. 因此 $x^{2}=\mathrm{LT}\left(x^{2}\right) \in\langle\mathrm{LT}(I)\rangle$. 然而 $x^{2}$ 不能被 $\mathrm{LT}$ 整除 $\left(f_{1}\right)=x^{3}$ ,或者 $\mathrm{LT}\left(f_{2}\right)=x^{2} y$ ,以便 $x^{2} \notin\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \operatorname{LT}\left(f_{2}\right)\right\rangle$ 由引理 2 的 $\S$.

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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