如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支，涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究，也涉及所有向量空间的一般属性。
线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域，因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model，并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system，它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。
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线性代数作业代写linear algebra代考|The Elimination and Extension Theorems
To get a sense of how elimination works, let us look at an example similar to those discussed at the end of Chapter 2 . We will solve the system of equations
$$
\begin{aligned}
&x^{2}+y+z=1, \
&x+y^{2}+z=1 \
&x+y+z^{2}=1 .
\end{aligned}
$$
If we let $I$ be the ideal
(2) $I=\left\langle x^{2}+y+z-1, x+y^{2}+z-1, x+y+z^{2}-1\right\rangle$,
then a Groebner basis for $I$ with respect to lex order is given by the four polynomials
$$
\begin{aligned}
&g_{1}=x+y+z^{2}-1, \
&g_{2}=y^{2}-y-z^{2}+z, \
&g_{3}=2 y z^{2}+z^{4}-z^{2} \
&g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2} .
\end{aligned}
$$
(3)
It follows that equations (1) and (3) have the same solutions. However, since
$$
g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)^{2}\left(z^{2}+2 z-1\right)
$$
involves only $z$, we see that the possible $z$ ‘s are 0,1 and $-1 \pm \sqrt{2}$. Substituting these values into $g_{2}=y^{2}-y-z^{2}+z=0$ and $g_{3}=2 y z^{2}+z^{4}-z^{2}=0$, we can determine the possible $y$ ‘s, and then finally $g_{1}=x+y+z^{2}-1=0$ gives the corresponding $x$ ‘s. In this way, one can check that equations (1) have exactly five solutions:
$$
\begin{aligned}
&(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), \
&(-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{2}), \
&(-1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2}) .
\end{aligned}
$$
What enabled us to find these solutions? There were two things that made our success possible:
- (Elimination Step) We could find a consequence $g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2}=0$ of our original equations which involved only $z$, i.e., we eliminated $x$ and $y$ from the system of equations.
- (Extension Step) Once we solved the simpler equation $g_{4}=0$ to determine the values of $z$, we could extend these solutions to solutions of the original equations.
The basic idea of elimination theory is that both the Elimination Step and the Extension Step can be done in great generality.
线性代数作业代写linear algebra代考|The Geometry of Elimination
In this section, we will give a geometric interpretation of the theorems proved in $\S 1$. The main idea is that elimination corresponds to projecting a variety onto a lower dimensional subspace. We will also discuss the Closure Theorem, which describes the relation between partial solutions and elimination ideals. For simplicity, we will work over the field $k=\mathbb{C}$.
Let us start by defining the projection of an affine variety. Suppose that we are given $V=\mathbf{V}\left(f_{1}, \ldots, f_{s}\right) \subset \mathbb{C}^{n}$. To eliminate the first $l$ variables $x_{1}, \ldots, x_{l}$, we will consider the projection map
$$
\pi_{i}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n-l}
$$
which sends $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ to $\left(a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right)$. If we apply $\pi_{l}$ to $V \subset \mathbb{C}^{n}$, then we get $\pi_{l}(V) \subset \mathbb{C}^{n-l}$. We can relate $\pi_{l}(V)$ to the $l$-th elimination ideal as follows.
Lemma 1. With the above notation, let $I_{l}=\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle \cap \mathbb{C}\left[x_{l+1}, \ldots, x_{n}\right]$ be the l-th elimination ideal. Then, in $\mathbb{C}^{n-1}$, we have
$$
\pi_{l}(V) \subset \mathbf{V}\left(I_{l}\right) .
$$
Proof. Fix a polynomial $f \in I_{l}$. If $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in V$, then $f$ vanishes at $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ since $f \in\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle$. But $f$ involves only $x_{l+1}, \ldots, x_{n}$, so that we can write
$$
f\left(a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right)=f\left(\pi_{l}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right)=0 .
$$
This shows that $f$ vanishes at all points of $\pi_{l}(V)$.
As in $\S 1$, points of $\mathbf{V}\left(I_{l}\right)$ will be called partial solutions. Using the lemma, we can write $\pi_{l}(V)$ as follows:
$$
\begin{aligned}
\pi_{l}(V)=&\left{\left(a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbf{V}\left(I_{l}\right): \exists a_{1}, \ldots, a_{l} \in \mathbb{C}\right.\
&\text { with } \left.\left.\left(a_{1}, \ldots, a_{l}, a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right)\right) \in V\right} .
\end{aligned}
$$
线性代数作业代写linear algebra代考|The Elimination and Extension Theorems
为了了解消除是如何工作的，让我们看一个类似于第 2 章末尾讨论的例子。我们将求解方 程组
$$
x^{2}+y+z=1, \quad x+y^{2}+z=1 x+y+z^{2}=1 .
$$
如果我们让 $I$ 成为理想
(2) $I=\left\langle x^{2}+y+z-1, x+y^{2}+z-1, x+y+z^{2}-1\right\rangle$,
然后是 Groebner 基 $I$ 关于 lex 顺序由四个多项式给出
$$
g_{1}=x+y+z^{2}-1, \quad g_{2}=y^{2}-y-z^{2}+z, g_{3}=2 y z^{2}+z^{4}-z^{2} \quad g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2} .
$$
(3)
式(1) 和(3) 有相同的解。然而，由于
$$
g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2}=z^{2}(z-1)^{2}\left(z^{2}+2 z-1\right)
$$
只涉及 $z$ ，我们看到可能 $z$ 是 0,1 和 $-1 \pm \sqrt{2}$. 将这些值代入 $g_{2}=y^{2}-y-z^{2}+z=0$ 和 $g_{3}=2 y z^{2}+z^{4}-z^{2}=0$ ，我们可以确定可能的 $y$ 的，然后最后 $g_{1}=x+y+z^{2}-1=0$ 给出相应的 $x$ 的。通过这种方式，可以检查方程（1）正好有五个解:
$$
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), \quad(-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{2},-1+\sqrt{2}),(-1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2},-1-\sqrt{2}) .
$$
是什么让我们找到了这些解决方案? 有两件事使我们的成功成为可能:
- (消除步骤) 我们可以找到一个结果 $g_{4}=z^{6}-4 z^{4}+4 z^{3}-z^{2}=0$ 我们原来的方程 只涉及 $z$ ，即我们消除了 $x$ 和 $y$ 从方程组。
- (扩展步骤) 一旦我们解决了更简单的方程 $g_{4}=0$ 确定的值 $z$ ，我们可以将这些解扩展 到原始方程的解。
消除理论的基本思想是消除步骤和扩展步骤都可以非常普遍地完成。
线性代数作业代写linear algebra代考|The Geometry of Elimination
在本节中，我们将给出证明的定理的几何解释 1 . 主要思想是消除对应于将多样性投影到 低维子空间上。我们还将讨论闭包定理，它描述了部分解决方案和消除理想之间的关系。为 简单起见，我们将在该领域工作 $k=\mathbb{C}$.
让我们从定义仿射变异的投影开始。假设我们得到 $V=\mathbf{V}\left(f_{1}, \ldots, f_{s}\right) \subset \mathbb{C}^{n}$. 消除第一个 $l$ 变量 $x_{1}, \ldots, x_{l}$ ，我们将考虑投影图
$$
\pi_{i}: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n-l}
$$
发送 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ 至 $\left(a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right)$. 如果我们申请 $\pi_{l}$ 至 $V \subset \mathbb{C}^{n}$ ，那么我们得到 $\pi_{l}(V) \subset \mathbb{C}^{n-l}$. 我们可以关联 $\pi_{l}(V)$ 到 $l$-th 消除理想如下。
引理 1. 用上面的符号，让 $I_{l}=\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle \cap \mathbb{C}\left[x_{l+1}, \ldots, x_{n}\right]$ 是第 个消除理想。那么， 在 $\mathbb{C}^{n-1}$ ， 我们有
$$
\pi_{l}(V) \subset \mathbf{V}\left(I_{l}\right) .
$$
证明。修正多项式 $f \in I_{l}$. 如果 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in V$ ，然后 $f$ 消失在 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ 自从 $f \in\left\langle f_{1}, \ldots, f_{s}\right\rangle$. 但 $f$ 只涉及 $x_{l+1}, \ldots, x_{n}$, 这样我们就可以写
$$
f\left(a_{l+1}, \ldots, a_{n}\right)=f\left(\pi_{l}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\right)=0 .
$$
这表明 $f$ 消失在所有点 $\pi_{l}(V)$.
如在 $\S 1$, 点 $\mathbf{V}\left(I_{l}\right)$ 将被称为部分解决方案。使用引理，我们可以写 $\pi_{l}(V)$ 如下
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计量经济学代写
计量经济学是利用统计方法检验经济学理论的一种方法，它既不属于统计的范畴也不属于经济的范畴更像是一种经验科学。大家有专业的问题可以在my-assignmentexpert™ 这里答疑，多读一读，相关的基础性的东西，做一些统计和经济的基础知识的积累对于学习计量经济学这一门课程都是有很大帮助的。
统计作业代写
线性代数到底应该怎么学？
线代是一门逻辑性非常强的数学，非常注重对概念的深入理解，QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣，学的时候经常要翻前面的东西。
在这种情况下，如何学好线性代数？如何保证线性代数能获得高分呢？
如何理清楚线代的概念，总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异，书+记笔记+刷题，但这三个怎么用，在UrivatetaTA了解到的情况来说，我觉得大部分人对总结理解是不准确的，以下将说明我认为效率最高的的总结方法。
1.1 mark on book
【重点的误解】划重点不是书上粗体，更不是每个定义，线代概念这么多，很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来，然后整本书都是重点，那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为
A. 不懂，或是生涩，或是不熟悉的部分。这点很重要，有的定义浅显，但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义，证明方法标出。在看书时，所有例题将答案遮住，自己做，卡住了就说明不熟悉这个例题的方法，也标出。
B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的，跟着老师走就对了
C. 你自己做题过程中，发现模糊的知识点
1.2 take note
记笔记千万不是抄书！！！我看到很多课友都是，抄老师的PPT，或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来，但数学不是背书嗷，抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。
1.3 understand the relation between definitions
比如特征值，特征向量，不变子空间，Jordan blocks， Jordan stadard form的一堆定义和推论，看起来很难记，但搞懂他们之间的关系就很简单了
美本或者加拿大本科，如果需要期末考试之前突击线性代数，怎样可以效率最大化？
如果您是美本或者加拿大本科的学生，那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书，这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度，以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.
从目录来看，这本书从linear vector space的定义讲起，引入线性代数这一主题，第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间，这样做的好处是规避Zorn lemma的使用，在处理无穷维线性空间的过程中，取基不可避免的需要用到zorn lemma，第二章主要讲了independent set和basis的概念，同时引入了维数
前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段，理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事，虽然还没有学任何non-trivial的内容，此时最重要的当然是linear vector space和independent set， basis， dimension的概念
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