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线性代数网课代修|交换代数代写Commutative Algebra代考|MAT4200

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Unique Factorization and Resultants

This definition says that if a nonconstant polynomial $f$ is irreducible over $k$, then up to a constant multiple, its only nonconstant factor is $f$ itself. Also note that the concept of irreducibility depends on the field. For example, $x^{2}+1$ is irreducible over $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R}$, but, over $\mathbb{C}$, we have $x^{2}+1=(x-i)(x+i)$.
Every polynomial is a product of irreducible polynomials as follows.
Proposition 2. Every nonconstant polynomial $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ can be written as a product of polynomials which are irreducible over $k$.

Proof. If $f$ is irreducible over $k$, then we are done. Otherwise, we can write $f=g h$, where $g, h \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ are nonconstant. Note that the total degrees of $g$ and $h$ are less than the total degree of $f$. Now apply this process to $g$ and $h$ : if either fails to be irreducible over $k$, we factor it into nonconstant factors. Since the total degree drops each time we factor, this process can be repeated at most finitely many times. Thus, $f$ must be a product of irreducibles.

In Theorem 5 we will show that the factorization of Proposition 2 is essentially unique. But first, we have to prove the following crucial property of irreducible polynomials.

Theorem 3. Let $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ be irreducible over $k$ and suppose that $f$ divides the product $g h$, where $g, h \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. Then $f$ divides $g$ or $h$.

Proof. We will use induction on the number of variables. When $n=1$, we can use the GCD theory developed in $\S 5$ of Chapter 1. If $f$ divides $g h$, then consider $p=$ $\operatorname{GCD}(f, g)$. If $p$ is nonconstant, then $f$ must be a constant multiple of $p$ since $f$ is irreducible, and it follows that $f$ divides $g$. On the other hand, if $p$ is constant, we can assume $p=1$, and then we can find $A, B \in k\left[x_{1}\right]$ such that $A f+B g=1$ (see Proposition 6 of Chapter $1, \S 5$ ). If we multiply this by $h$, we get
$$
h=h(A f+B g)=A h f+B g h .
$$
Since $f$ divides $g h, f$ is a factor of $A h f+B g h$, and, thus, $f$ divides $h$. This proves the case $n=1$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Resultants and the Extension Theorem

In this section we will prove the Extension Theorem using the results of $\S$. Our first task will be to adapt the theory of resultants to the case of polynomials in $n$ variables. Thus, suppose we are given $f, g \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ of positive degree in $x_{1}$. As in $\S 5$, we write
$$
\begin{aligned}
&f=a_{0} x_{1}^{\prime}+\cdots+a_{l}, \quad a_{0} \neq 0 \
&g=b_{0} x_{1}^{m}+\cdots+b_{m}, \quad b_{0} \neq 0,
\end{aligned}
$$
where $a_{i}, b_{i} \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$, and we define the resultant of $f$ and $g$ with respect to $x_{1}$

where the empty spaces are filled by zeros.
For resultants of polynomials in several variables, the results of $\$ 5$ can be stated as follows.
Proposition 1. Let $f, g \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ have positive degree in $x_{1}$. Then:
(i) $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right)$ is in the first elimination ideal $\langle f, g\rangle \cap k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$.
(ii) $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right)=0$ if and only if $f$ and $g$ have a common factor in $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ which has positive degree in $x_{1}$.

Proof. When we write $f, g$ in terms of $x_{1}$, the coefficients $a_{i}, b_{i}$, lie in $k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$. Since the resultant is an integer polynomial in $a_{i}, b_{i}$, (Proposition 9 of $\S 5$ ), it follows that $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right) \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$. We also know that
$$
A f+B g=\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right),
$$
where $A$ and $B$ are polynomials in $x_{1}$ whose coefficients are again integer polynomials in $a_{i}, b_{i}$ (Proposition 9 of $\S$ 5). Thus, $A, B \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]\left[x_{1}\right]=k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$, and then the above equation implies $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right) \in\langle f, g\rangle$. This proves part (i) of the proposition.

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线性代数作业代写linear algebra代考|Unique Factorization and Resultants

这个定义说,如果一个非常数多项式 $f$ 是不可约的 $k$ ,那么直到一个常数倍数,它唯一的非 常数因子是 $f$ 本身。另请注意,不可约性的概念取决于场。例如, $x^{2}+1$ 是不可约的 $Q$ 和 $\mathbb{R}$, 但是, 结束 $\mathbb{C}$ , 我们有 $x^{2}+1=(x-i)(x+i)$.
每个多项式都是如下不可约多项式的乘积。
命题 2. 每个非常数多项式 $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 可以写成多项式的乘积,这些多项式是不可约 的 $k$.
证明。如果 $f$ 是不可约的 $k$ ,那么我们就完成了。否则,我们可以写 $f=g h$ ,在哪里 $g, h \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 是非恒定的。注意总度数 $g$ 和 $h$ 小于总度数 $f$. 现在将此过程应用于 $g$ 和 $h$ : 如果其中任何一个都不能不可约 $k$ ,我们将其分解为非常数因子。由于每次我们考虑总度 数都会下降,所以这个过程最多可以重复多次。因此,f一定是不可约数的乘积。
在定理 5 中,我们将证明命题 2 的因式分解本质上是唯一的。但首先,我们必须证明不可 约多项式的以下关键性质。
定理 3. 让 $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 不可约 $k$ 并假设 $f$ 划分产品 $g h$ , 在哪里 $g, h \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. 然后 $f$ 划分 $g$ 或者 $h$.
证明。我们将对变量的数量使用归纳法。什么时候 $n=1$, 我们可以使用 GCD 理论 $\S 5$ 第 1 章。如果 $f$ 划分 $g h$ ,然后考虑 $p=\operatorname{GCD}(f, g)$. 如果 $p$ 是非常数,那么 $f$ 必须是的常数倍 $p$ 自 从 $f$ 是不可约的,因此 $f$ 划分 $g$. 另一方面,如果 $p$ 是常数,我们可以假设 $p=1$ ,然后我们可 以找到 $A, B \in k\left[x_{1}\right]$ 这样 $A f+B g=1$ (见第 6 章命题 $1, \S 5$ )。如果我们将其乘以 $h$ ,我 们得到
$$
h=h(A f+B g)=A h f+B g h .
$$
自从 $f$ 划分 $g h, f$ 是一个因素 $A h f+B g h ,$ 因此, $f$ 划分 $h$. 这证明了情况 $n=1$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Resultants and the Extension Theorem

在本节中,我们将使用以下结果证明扩展定理 $\S$. 我们的首要任务是使结果式理论适应多项 式的情况 $n$ 变量。因此,假设我们有 $f, g \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 在积极程度 $x_{1}$. 如在 $\S 5$ ,我们写
$$
f=a_{0} x_{1}^{\prime}+\cdots+a_{l}, \quad a_{0} \neq 0 \quad g=b_{0} x_{1}^{m}+\cdots+b_{m}, \quad b_{0} \neq 0,
$$
在哪里 $a_{i}, b_{i} \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$ ,我们定义的结果 $f$ 和 $g$ 关于 $x_{1}$
其中空白处用零填充。
对于多个变量的多项式的结果,结果 $\$ 5$ 可以表述如下。
命题 1. 让 $f, g \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 拥有积极的学位 $x_{1}$. 然后:(
一) $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right)$ 处于第一个消除理想中 $\langle f, g\rangle \cap k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$.
(二) $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right)=0$ 当且仅当 $f$ 和 $g$ 有一个共同的因素 $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 度数为正的 $x_{1}$.
证明。当我们写 $f, g$ 按昭 $x_{1}$, 系数 $a_{i}, b_{i}$ ,位于 $k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$. 由于结果是整数多项式 $a_{i}, b_{i}$, (命题 $9 \S 5$ ),,它遵循Res $\left(f, g, x_{1}\right) \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]$. 我们也知道
$$
A f+B g=\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right),
$$
在哪里 $A$ 和 $B$ 是多项式在 $x_{1}$ 其系数又是整数多项式 $a_{i}, b_{i}$ (第 9 号提案 $\S 5$ )。因此, $A, B \in k\left[x_{2}, \ldots, x_{n}\right]\left[x_{1}\right]=k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ ,然后上面的等式意味着 $\operatorname{Res}\left(f, g, x_{1}\right) \in\langle f, g\rangle$. 这证明了命题的 (i) 部分。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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