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线性代数网课代修|交换代数代写Commutative Algebra代考|MAT4200

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of Groebner Bases

As shown in $\S 5$, every nonzero ideal $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ has a Groebner basis. In this section, we will study the properties of Groebner bases and learn how to detect when a given basis is a Groebner basis. We begin by showing that the undesirable behavior of the division algorithm in $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ noted in $\S 3$ does not occur when we divide by the elements of a Groebner basis.

Let us first prove that the remainder is uniquely determined when we divide by a Groehner basis.

Proposition 1. Let $G=\left{g_{1}, \ldots, g_{t}\right}$ be a Groebner basis for an ideal $I \subset$ $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ and let $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. Then there is a unique $r \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ with the following two properties:
(i) No term of $r$ is divisible by any of $\operatorname{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(g_{t}\right)$.
(ii) There is $g \in I$ such that $f=g+r$.
In particular, $r$ is the remainder on division of $f$ by $G$ no matter how the elements of $G$ are listed when using the division algorithm.

Proof. The division algorithm gives $f=a_{1} g_{1}+\cdots+a_{t} g_{t}+r$, where $r$ satisfies (i). We can also satisfy (ii) by setting $g=a_{1} g_{1}+\cdots+a_{t} g_{t} \in I$. This proves the existence of $r$.

To prove uniqueness, suppose that $f=g+r=g^{\prime}+r^{\prime}$ satisfy (i) and (ii). Then $r-$ $r^{\prime}=g^{\prime}-g \in I$, so that if $r \neq r^{\prime}$, then $\operatorname{LT}\left(r-r^{\prime}\right) \in\langle\operatorname{LT}(I)\rangle=\left\langle\operatorname{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(g_{t}\right)\right\rangle$. By Lemma 2 of $\S 4$, it follows that $\operatorname{LT}\left(r-r^{\prime}\right)$ is divisible by some $\operatorname{LT}\left(g_{i}\right)$. This is impossible since no term of $r, r^{\prime}$ is divisible by one of $\operatorname{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(g_{t}\right)$. Thus $r-r^{\prime}$ must be zero, and uniqueness is proved.
The final part of the proposition follows from the uniqueness of $r$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Buchberger’s Algorithm

In Corollary 6 of $\S 5$, we saw that every ideal in $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ other than 0 has a Groebner basis. Unfortunately, the proof given was nonconstructive in the sense that it did not tell us how to produce the Groebner basis. So we now turn to the question: given an ideal $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$, how can we actually construct a Groebner basis for $I$ ? To see the main ideas behind the method we will use, we return to the ideal of Example 2 from $\S 5$ and proceed as follows.

Example 1. Consider the ring $k[x, y]$ with grlex order, and let $I=\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle=$ $\left(x^{3}-2 x y, x^{2} y-2 y^{2}+x\right)$. Recall that $\left{f_{1}, f_{2}\right}$ is not a Groebner basis for I since $\operatorname{LT}\left(S\left(f_{1}, f_{2}\right)\right)=-x^{2} \notin\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \operatorname{LT}\left(f_{2}\right)\right\rangle$.

To produce a Groebner basis, one natural idea is to try first to extend the original generating set to a Groebner basis by adding more polynomials in $I$. In one sense, this adds nothing new, and even introduces an element of redundancy. However, the extra information we get from a Groebner basis more than makes up for this.

What new generators should we add? By what we have said about the S-polynomials in $\S$ 6, the following should come as no surprise. We have $S\left(f_{1}, f_{2}\right)=-x^{2} \in I$, and its remainder on division by $F=\left(f_{1}, f_{2}\right)$ is $-x^{2}$, which is nonzero. Hence, we should include that remainder in our generating set, as a new generator $f_{3}=-x^{2}$. If we set $F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$, we can use Theorem 6 of $\S 6$ to test if this new set is a Groebner basis for $I$. We compute
$$
\begin{aligned}
&S\left(f_{1}, f_{2}\right)=f_{3}, \text { so } \
&\frac{S\left(f_{1}, f_{2}\right)}{F}=0 \
&S\left(f_{1}, f_{3}\right)=\left(x^{3}-2 x y\right)-(-x)\left(-x^{2}\right)=-2 x y, \text { but } \
&\frac{S\left(f_{1}, f_{3}\right)}{F}=-2 x y \neq 0
\end{aligned}
$$

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线性代数作业代写linear algebra代考|Properties of Groebner Bases

如图所示 $\S 5$, 每个非零理想 $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 有一个 Groebner 基础。在本节中,我们将 研究 Groebner 基的性质,并学习如何检测给定的基何时是 Groebner 基。我们首先表明除 法算法的不良行为 $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 注意到 3 当我们除以 Groebner 基的元素时不会发生。
让我们首先证明,当我们除以 Groehner 基时,余数是唯一确定的。 让 $f \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$. 然后有一个独特的 $r \in k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 具有以下两个性质:
(i) 没有 $r$ 可以被任何一个整除 $\mathrm{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \mathrm{LT}\left(g_{t}\right)$.
(ii) 有 $g \in I$ 这样 $f=g+r$.
尤其是, $r$ 是除法的余数 $f$ 经过 $G$ 不管元素如何 $G$ 使用除法算法时列出。
证明。除法算法给出 $f=a_{1} g_{1}+\cdots+a_{t} g_{t}+r$ ,在哪里 $r$ 满足 $(一)$ 。我们还可以通过设 置满足 (ii) $g=a_{1} g_{1}+\cdots+a_{t} g_{t} \in I$. 这证明了存在 $r$.
为了证明唯一性,假设 $f=g+r=g^{\prime}+r^{\prime}$ 满足 (i) 和 (ii)。然后 $r-r^{\prime}=g^{\prime}-g \in I$ ,所以 如果 $r \neq r^{\prime}$ ,然后 $\mathrm{LT}\left(r-r^{\prime}\right) \in\langle\operatorname{LT}(I)\rangle=\left\langle\operatorname{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(g_{t}\right)\right\rangle$. 通过引理 2 的 $\S$ 4,
它遵循LT $\left(r-r^{\prime}\right)$ 可以被一些整除LT $\left(g_{i}\right)$. 这是不可能的,因为没有期限 $r, r^{\prime}$ 可被以下之一 整除 $\operatorname{LT}\left(g_{1}\right), \ldots, \operatorname{LT}\left(g_{t}\right)$. 因此 $r-r^{\prime}$ 必须为零,并证明唯一性。
命题的最后部分来自于唯一性 $r$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Buchberger’s Algorithm

在推论 $6 \S 5$ ,我们看到了每一个理想 $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] 0$ 以外的有 Groebner 基。不幸的是, 给出的证明是非建设性的,因为它没有告诉我们如何产生 Groebner 基。所以我们现在转向 问题:给定一个理想 $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ ,我们如何才能真正构建一个 Groebner 基 $I$ ? 为了 了解我们将使用的方法背后的主要思想,我们回到示例 2 的理想,从 $\$ 5$ 并进行如下操作。
示例 1. 考虑环 $k[x, y]$ 用 grlex 顺序,让 $I=\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle=\left(x^{3}-2 x y, x^{2} y-2 y^{2}+x\right)$. 回顾 Meft $\left{\mathrm{f}{-}{1}, \mathrm{f}{-}{2}\right.$ \right } } \text { 不是我的 Groebner 基础,因为 } $\operatorname{LT}\left(S\left(f_{1}, f_{2}\right)\right)=-x^{2} \notin\left\langle\operatorname{LT}\left(f_{1}\right), \operatorname{LT}\left(f_{2}\right)\right\rangle$
为了产生 Groebner 基,一个自然的想法是首先尝试通过在 $I$. 从某种意义上说,这并没有增 加任何新内容,甚至引入了冗余元素。然而,我们从 Groebner 基础上获得的额外信息足以 弥补这一点。
我们应该添加哪些新的生成器? 根据我们已经说过的关于 S-多项式 $\S 6$ 、以下应该不足为 奇。我们有 $S\left(f_{1}, f_{2}\right)=-x^{2} \in I$, 及其除以的余数 $F=\left(f_{1}, f_{2}\right)$ 是 $-x^{2}$ ,非零。因此,我 们应该将剩余部分包含在我们的生成集中,作为一个新的生成器 $f_{3}=-x^{2}$. 如果我们设置 $F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$, 我们可以使用定理 $6 \S 6$ 测试这个新集合是否是 Groebner 基础 $I$. 我们计 算
$$
S\left(f_{1}, f_{2}\right)=f_{3}, \text { so } \quad \frac{S\left(f_{1}, f_{2}\right)}{F}=0 S\left(f_{1}, f_{3}\right)=\left(x^{3}-2 x y\right)-(-x)\left(-x^{2}\right)=-2 x y, \text { but }
$$

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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