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线性代数网课代修|高阶线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|MATH2922

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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  • 高等线性代数
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  • 优化理论
  • 线性规划
  • 逼近论
线性代数网课代修|高阶线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|MATH2922

线性代数作业代写linear algebra代考|Invertibility of linear mappings as a generic property

Let $U$ be a finite-dimensional vector space with norm $|\cdot|$. It has been seen that the space $L(U)$ may be equipped with an induced norm which may also be denoted by $|\cdot|$ since there is no risk of confusion. The availability of a norm of $L(U)$ allows one to perform analysis on $L(U)$ so that a deeper understanding of $L(U)$ may be achieved.

As an illustration, in this subsection, we will characterize invertibility of linear mappings by using the norm.

Theorem 2.24 Let $U$ be a finite-dimensional normed space. An element $T \in$ $L(U)$ is invertible if and only if there is a constant $c>0$ such that
$$
|T(u)| \geq c|u|, \quad u \in U .
$$
Proof Assume (2.6.9) is valid. Then it is clear that $N(T)={0}$. Hence $T$ is invertible. Conversely, assume that $T$ is invertible and $T^{-1} \in L(U)$ is its inverse. Then $1=|I|=\left|T^{-1} \circ T\right| \leq\left|T^{-1}\right||T|$ implies that the norm of an invertible mapping can never be zero. Thus, for any $u \in U$, we have $|u|=\left|\left(T^{-1} \circ T\right)(u)\right| \leq\left|T^{-1}\right||T(u)|$ or $|T(u)| \geq\left(\left|T^{-1}\right|\right)^{-1}|u|, u \in U$, which establishes (2.6.9).

We now show that invertibility is a generic property for elements in $L(U)$.
Theorem 2.25 Let $U$ be a finite-dimensional normed space and $T \in L(U)$.
(1) For any $\varepsilon>0$ there exists an invertible element $S \in L(U)$ such that $|S-T|<\varepsilon$. This property says that the subset of invertible mappings in $L(U)$ is dense in $L(U)$ with respect to the norm of $L(U)$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Exponential of a linear mapping

Let $T \in L(U)$. For a positive integer $m$, we consider $T_{m} \in L(U)$ given by
$$
T_{m}=\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k !} T^{k},
$$
with the understanding $T^{0}=I$. Therefore, for $l<m$, we have the estimate
$$
\left|T_{l}-T_{m}\right| \leq \sum_{k=l+1}^{m} \frac{|T|^{k}}{k !} .
$$
In particular, $\left|T_{l}-T_{m}\right| \rightarrow 0$ as $l, m \rightarrow \infty$. Hence we see that the limit
$$
\lim {m \rightarrow \infty} \sum{k=0}^{m} \frac{1}{k !} T^{k}
$$
is a well-defined element in $L(U)$ and is naturally denoted as
$$
\mathrm{e}^{T}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} T^{k}
$$ and is called the exponential of $T \in L(U)$. Thus $\mathrm{e}^{0}=I .$ As in calculus, if $S, T \in L(U)$ are commutative, we can verify the formula
$$
\mathrm{e}^{S} \mathrm{e}^{T} \equiv \mathrm{e}^{S} \circ \mathrm{e}^{T}=\mathrm{e}^{S+T}
$$
A special consequence of this simple property is that the exponential of any mapping $T \in L(U)$ is invertible. In fact, the relation (2.6.15) indicates that
$$
\left(\mathrm{e}^{T}\right)^{-1}=\mathrm{e}^{-T} .
$$
More generally, with the notation $\Phi(t)=\mathrm{e}^{t T}(t \in \mathbb{R})$, we have
(1) $\Phi(s) \Phi(t)=\Phi(s+t), s, t \in \mathbb{R}$,
(2) $\Phi(0)=I$,
and we say that $\Phi: \mathbb{R} \rightarrow L(U)$ defines a one-parameter group.

线性代数网课代修|高阶线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|MATH2922

线性代数作业代写linear algebra代考|Invertibility of linear mappings as a generic property

让 $U$ 是具有范数的有限维向量空间 $|\cdot|$. 已经看到空间 $L(U)$ 可以配备一个诱导范数,也可以 表示为 $\mid$ | 因为没有混淆的风险。规范的可用性 $L(U)$ 允许一个人进行分析 $L(U)$ 以便更深入 地了解 $L(U)$ 可以实现。
作为说明,在本小节中,我们将使用范数来表征线性映射的可逆性。
定理 $2.24$ 让 $U$ 是一个有限维范数空间。一个元素 $T \in L(U)$ 可逆当且仅当存在一个常数 $c>0$ 这样
$$
|T(u)| \geq c|u|, \quad u \in U
$$
证明假设 (2.6.9) 是有效的。那么很明显 $N(T)=0$. 因此 $T$ 是可逆的。相反,假设 $T$ 是可 逆的并且 $T^{-1} \in L(U)$ 是它的倒数。然后 $1=|I|=\left|T^{-1} \circ T\right| \leq\left|T^{-1}\right||T|$ 意味着可逆映射 的范数永远不会为零。因此,对于任何 $u \in U$ ,我们有
$|u|=\left|\left(T^{-1} \circ T\right)(u)\right| \leq\left|T^{-1}\right||T(u)|$ 或者 $|T(u)| \geq\left(\left|T^{-1}\right|\right)^{-1}|u|, u \in U$, 建立 (2.6.9)。
我们现在证明可逆性是元素的通用属性 $L(U)$.
定理 $2.25$ 让 $U$ 是一个有限维范数空间和 $T \in L(U)$.
(1) 对于任何 $\varepsilon>0$ 存在可逆元素 $S \in L(U)$ 这样 $|S-T|<\varepsilon$. 该属性表示可逆映射的子集 $L(U)$ 密集在 $L(U)$ 关于规范 $L(U)$.

线性代数作业代写linear algebra代考|Exponential of a linear mapping

让 $T \in L(U)$. 对于一个正整数 $m$ ,我们认为 $T_{m} \in L(U)$ 由
$$
T_{m}=\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k !} T^{k},
$$
与理解 $T^{0}=I$. 因此,对于 $l<m$, 我们有估计
$$
\left|T_{l}-T_{m}\right| \leq \sum_{k=l+1}^{m} \frac{|T|^{k}}{k !}
$$
尤其是, $\left|T_{l}-T_{m}\right| \rightarrow 0$ 作为 $l, m \rightarrow \infty$. 因此我们看到极限
$$
\lim m \rightarrow \infty \sum k=0^{m} \frac{1}{k !} T^{k}
$$
是定义明确的元素 $L(U)$ 并且自然表示为
$$
\mathrm{e}^{T}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} T^{k}
$$
并且被称为的指数 $T \in L(U)$. 因此 $\mathrm{e}^{0}=I$. 就像在微积分中一样,如果 $S, T \in L(U)$ 是可交 换的,我们可以验证公式
$$
\mathrm{e}^{S} \mathrm{e}^{T} \equiv \mathrm{e}^{S} \circ \mathrm{e}^{T}=\mathrm{e}^{S+T}
$$
这个简单属性的一个特殊结果是任何映射的指数 $T \in L(U)$ 是可逆的。事实上,关系式 (2.6.15) 表明
$$
\left(\mathrm{e}^{T}\right)^{-1}=\mathrm{e}^{-T}
$$
更一般地,使用符号 $\Phi(t)=\mathrm{e}^{t T}(t \in \mathbb{R})$, 我们有
(1) $\Phi(s) \Phi(t)=\Phi(s+t), s, t \in \mathbb{R}$,
(2) $\Phi(0)=I$,
我们说 $\Phi: \mathbb{R} \rightarrow L(U)$ 定义一个单参数组。

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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