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线性代数网课代修|高阶线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|MAST10022

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如果你也在 怎样代写线性代数Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。线性代数Linear Algebra是数学的一个分支,涉及到矢量空间和线性映射。它包括对线、面和子空间的研究,也涉及所有向量空间的一般属性。

线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似。

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我们提供的线性代数linear algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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  • 线性规划
  • 逼近论
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线性代数作业代写linear algebra代考|Invariance and reducibility

In this subsection, we consider some situations in which the complexity of a linear mapping may be ‘reduced’ somewhat.

Definition 2.11 Let $T \in L(U)$ and $V$ be a subspace of $U$. We say that $V$ is an invariant subspace of $T$ if $T(V) \subset V$.

Given $T \in L(U)$, it is clear that the null-space $N(T)$ and range $R(T)$ of $T$ are both invariant subspaces of $T$.

To see how the knowledge about an invariant subspace reduces the complexity of a linear mapping, we assume that $V$ is a nontrivial invariant subspace of $T \in L(U)$ where $U$ is $n$-dimensional. Let $\left{u_{1}, \ldots, u_{k}\right}$ be any basis of $V$. We extend it to get a basis of $U$, say $\left{u_{1}, \ldots, u_{k}, u_{k+1}, \ldots, u_{n}\right}$. With respect to such a basis, we have
$$
T\left(u_{i}\right)=\sum_{i^{\prime}=1}^{k} b_{i^{\prime} i} u_{i^{\prime}}, i=1, \ldots, k, T\left(u_{j}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{n} c_{j^{\prime} j} u_{j^{\prime}}, j=k+1, \ldots, n,
$$
where $B=\left(b_{i^{\prime} i}\right) \in \mathbb{F}(k, k)$ and $C=\left(c_{j^{\prime} j}\right) \in \mathbb{F}(n,[n-k])$. With respect to this basis, the associated matrix $A \in \mathbb{F}(n, n)$ becomes
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
B & C_{1} \
0 & C_{2}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{c}
C_{1} \
C_{2}
\end{array}\right)=C .
$$
Such a matrix is sometimes referred to as boxed upper triangular.
Thus, we see that a linear mapping $T$ over a finite-dimensional vector space $U$ has a nontrivial invariant subspace if and only if there is a basis of $U$ so that the associated matrix of $T$ with respect to this basis is boxed upper triangular.
For the matrix $A$ given in (2.5.2), the vanishing of the entries in the leftlower portion of the matrix indeed reduces the complexity of the matrix. We have seen clearly that such a ‘reduction’ happens because of the invariance property
$$
T\left(\operatorname{Span}\left{u_{1}, \ldots, u_{k}\right}\right) \subset \operatorname{Span}\left{u_{1}, \ldots, u_{k}\right} .
$$
Consequently, if we also have the following additionally imposed invariance property
$$
T\left(\operatorname{Span}\left{u_{k+1}, \ldots, u_{n}\right}\right) \subset \operatorname{Span}\left{u_{k+1}, \ldots, u_{n}\right},
$$
then $c_{j^{\prime} j}=0$ for $j^{\prime}=1, \ldots, k$ in (2.5.1) or $C_{1}=0$ in (2.5.2), which further reduces the complexity of the matrix $A$.

The above investigation motivates the introduction of the concept of reducibility of a linear mapping as follows.

线性代数作业代写linear algebra代考|Projections

In this subsection, we study an important family of reducible linear mappings called projections.

Definition $2.15$ Let $V$ and $W$ be two complementary subspaces of $U$. That is, $U=V \oplus W$. For any $u \in U$, express $u$ uniquely as $u=v+w, v \in V, w \in W$, and défine the mapping $P: U \rightarrow U$ by
$$
P(u)=v .
$$
Then $P \in L(U)$ and is called the projection of $U$ onto $V$ along $W$.
We need to check that the mapping $P$ defined in Definition $2.15$ is indeed linear. To see this, we take $u_{1}, u_{2} \in U$ and express them as $u_{1}=v_{1}+w_{1}, u_{2}=$ $v_{2}+w_{2}$, for unique $v_{1}, v_{2} \in V, w_{1}, w_{2} \in W$. Hence $P\left(u_{1}\right)=v_{1}, P\left(u_{2}\right)=v_{2}$. On the other hand, from $u_{1}+u_{2}=\left(v_{1}+v_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)$, we get $P\left(u_{1}+u_{2}\right)=$ $v_{1}+v_{2}$. Thus $P\left(u_{1}+u_{2}\right)=P\left(u_{1}\right)+P\left(u_{2}\right)$. Moreover, for any $a \in \mathbb{F}$ and $u \in U$, write $u=v+w$ for unique $v \in V, w \in W$. Thus $P(u)=v$ and $a u=a v+a w$ give us $P(a u)=a v=a P(u)$. So $P \in L(U)$ as claimed.

From Definition 2.15, we see that for $v \in V$ we have $P(v)=v$. Thus $P(P(u))=P(u)$ for any $u \in U$. In other words, the projection $P$ satisfies the special property $P \circ P=P$. For notational convenience, we shall use $T^{k}$ to denote the $k$-fold composition $T \circ \cdots \circ T$ for any $T \in L(U)$. With this notation, we see that a projection $P$ satisfies the condition $P^{2}=P$. Any linear mapping satisfying such a condition is called idempotent.

We now show that being idempotent characterizes a linear mapping being a projection.

线性代数网课代修|高阶线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|MAST10022

线性代数作业代写linear algebra代考|Invariance and reducibility

在本小节中,我们考虑一些情况,其中线性映射的复杂性可能会有所“降低”。
定义 $2.11$ 让 $T \in L(U)$ 和 $V$ 是一个子空间 $U$. 我们说 $V$ 是一个不变的子空间 $T$ 如果 $T(V) \subset V$
给定 $T \in L(U)$ ,很明显,零空间 $N(T)$ 和范围 $R(T)$ 的 $T$ 都是不变的子空间 $T$.
为了了解关于不变子空间的知识如何降低线性映射的复杂性,我们假设 $V$ 是一个非平凡的不 础,我们有
$$
T\left(u_{i}\right)=\sum_{i^{\prime}=1}^{k} b_{i^{\prime} i} u_{i^{\prime}}, i=1, \ldots, k, T\left(u_{j}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{n} c_{j^{\prime} j} u_{j^{\prime}}, j=k+1, \ldots, n
$$
在哪里 $B=\left(b_{i^{\prime} i}\right) \in \mathbb{F}(k, k)$ 和 $C=\left(c_{j^{\prime} j}\right) \in \mathbb{F}(n,[n-k])$. 关于这个基础,相关矩阵 $A \in \mathbb{F}(n, n)$ 变成
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
B & C_{1} & 0 & C_{2}
\end{array}\right), \quad\left(C_{1} C_{2}\right)=C .
$$
这样的矩阵有时被称为盒装上三角形。
因此,我们看到一个线性映射 $T$ 在有限维向量空间上 $U$ 有一个非平凡不变子空间当且仅当有 一个基 $U$ 使得相关矩阵 $T$ 相对于这个基础是盒装上三角。
对于矩阵 $A$ 在 (2.5.2) 中给出,矩阵左下部分项的消失确实降低了矩阵的复杂度。我们已经 清楚地看到,由于不变性属性而发生这种“减少”
因此,如果我们还具有以下附加的不变性
然后 $c_{j^{\prime} j}=0$ 为了 $j^{\prime}=1, \ldots, k$ 在 (2.5.1) 或 $C_{1}=0$ 在(2.5.2)中,进一步降低了矩阵的复杂 度 $A$.
上述调查促使引入线性映射的可简化性概念如下。

线性代数作业代写linear algebra代考|Projections

在本小节中,我们研究了一个重要的可约线性映射族,称为投影。
定义 2.15让 $V$ 和 $W$ 是的两个互补子空间 $U$. 那是, $U=V \oplus W$. 对于任何 $u \in U$ ,表示 $u$ 独 一无二地 $u=v+w, v \in V, w \in W$, 并定义映射 $P: U \rightarrow U$ 经过
$$
P(u)=v .
$$
然后 $P \in L(U)$ 并且被称为投影 $U$ 到 $V$ 沿着 $W$.
我们需要检查映射 $P$ 在定义中定义 $2.15$ 确实是线性的。为了看到这一点,我们采取 $u_{1}, u_{2} \in U$ 并将它们表示为 $u_{1}=v_{1}+w_{1}, u_{2}=v_{2}+w_{2}$, 为唯一 $v_{1}, v_{2} \in V, w_{1}, w_{2} \in W$ . 因此 $P\left(u_{1}\right)=v_{1}, P\left(u_{2}\right)=v_{2}$. 另一方面,从 $u_{1}+u_{2}=\left(v_{1}+v_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right)$ ,我们 得到 $P\left(u_{1}+u_{2}\right)=v_{1}+v_{2}$. 因此 $P\left(u_{1}+u_{2}\right)=P\left(u_{1}\right)+P\left(u_{2}\right)$. 此外,对于任何 $a \in \mathbb{F}$ 和 $u \in U$ ,写 $u=v+w$ 为独一无二 $v \in V, w \in W$. 因此 $P(u)=v$ 和 $a u=a v+a w$ 给我 们 $P(a u)=a v=a P(u)$. 所以 $P \in L(U)$ 如声称的那样。
从定义 2.15,我们看到对于 $v \in V$ 我们有 $P(v)=v$. 因此 $P(P(u))=P(u)$ 对于任何 $u \in U$. 换句话说,投影 $P$ 满足特殊性质 $P \circ P=P$. 为了符号方便,我们将使用 $T^{k}$ 来表示 $k$-折疍组 合 $T \circ \cdots \circ T$ 对于任何 $T \in L(U)$. 有了这个符号,我们看到一个投影 $P$ 满足条件 $P^{2}=P$. 任何满足这种条件的线性映射称为幂等。
我们现在表明,幂等表示线性映射是投影。

线性代数作业代写linear algebra代考| Non–singular matrices

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线性代数到底应该怎么学?

线代是一门逻辑性非常强的数学,非常注重对概念的深入理解,QS排名前200的大学普遍线性代数考试的题目80%以上都是证明题形式。而且初学的时候大家会觉得线代概念很乱很杂且环环相扣,学的时候经常要翻前面的东西。

在这种情况下,如何学好线性代数?如何保证线性代数能获得高分呢?

如何理清楚线代的概念,总结并且理解各个概念和定理之间的层次关系和逻辑关系是最关键的。具体实行方法和其他科目大同小异,书+记笔记+刷题,但这三个怎么用,在UrivatetaTA了解到的情况来说,我觉得大部分人对总结理解是不准确的,以下将说明我认为效率最高的的总结方法。

1.1 mark on book

【重点的误解】划重点不是书上粗体,更不是每个定义,线代概念这么多,很多朋友强迫症似的把每个定义整整齐齐用荧光笔标出来,然后整本书都是重点,那期末怎么复习呀。我认为需要标出的重点为

A. 不懂,或是生涩,或是不熟悉的部分。这点很重要,有的定义浅显,但证明方法很奇怪。我会将晦涩的定义,证明方法标出。在看书时,所有例题将答案遮住,自己做,卡住了就说明不熟悉这个例题的方法,也标出。

B. 老师课上总结或强调的部分。这个没啥好讲的,跟着老师走就对了

C. 你自己做题过程中,发现模糊的知识点

1.2 take note

记笔记千万不是抄书!!!我看到很多课友都是,抄老师的PPT,或者把书上的东西搬到笔记本上。有人可能觉得抄容易记起来,但数学不是背书嗷,抄一遍浪费时间且无用。我用我笔记的一小部分来说明怎么做笔记。

1.3 understand the relation between definitions

比如特征值,特征向量,不变子空间,Jordan blocks, Jordan stadard form的一堆定义和推论,看起来很难记,但搞懂他们之间的关系就很简单了

美本或者加拿大本科,如果需要期末考试之前突击线性代数,怎样可以效率最大化?

如果您是美本或者加拿大本科的学生,那么您的教材有很大概率是Sehldon Axler的linear algebra done right这本书,这本书通俗易懂的同时做到了只有300页的厚度,以几何的观点介绍了线性代数的所有基本且重要的内容.

从目录来看,这本书从linear vector space的定义讲起,引入线性代数这一主题,第二章开始将讨论范围限制在有限维的线性空间,这样做的好处是规避Zorn lemma的使用,在处理无穷维线性空间的过程中,取基不可避免的需要用到zorn lemma,第二章主要讲了independent set和basis的概念,同时引入了维数

前两章的内容可以看做是线性代数的启蒙阶段,理解了这两章就知道了线性代数研究的对象基本上是怎么回事,虽然还没有学任何non-trivial的内容,此时最重要的当然是linear vector space和independent set, basis, dimension的概念

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